MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashf1 13279
Description: The permutation number 𝐴 ∣ ! · ( ∣ 𝐵 ∣ C ∣ 𝐴 ∣ ) = 𝐵 ∣ ! / ( ∣ 𝐵 ∣ − ∣ 𝐴 ∣ )! counts the number of injections from 𝐴 to 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashf1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘{𝑓𝑓:𝐴1-1𝐵}) = ((!‘(#‘𝐴)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝐴))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem hashf1
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1eq2 6135 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ∅ → (𝑓:𝑥1-1𝐵𝑓:∅–1-1𝐵))
2 f1fn 6140 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:∅–1-1𝐵𝑓 Fn ∅)
3 fn0 6049 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 Fn ∅ ↔ 𝑓 = ∅)
42, 3sylib 208 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:∅–1-1𝐵𝑓 = ∅)
5 f10 6207 . . . . . . . . . . . 12 ∅:∅–1-1𝐵
6 f1eq1 6134 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = ∅ → (𝑓:∅–1-1𝐵 ↔ ∅:∅–1-1𝐵))
75, 6mpbiri 248 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = ∅ → 𝑓:∅–1-1𝐵)
84, 7impbii 199 . . . . . . . . . 10 (𝑓:∅–1-1𝐵𝑓 = ∅)
9 velsn 4226 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ {∅} ↔ 𝑓 = ∅)
108, 9bitr4i 267 . . . . . . . . 9 (𝑓:∅–1-1𝐵𝑓 ∈ {∅})
111, 10syl6bb 276 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → (𝑓:𝑥1-1𝐵𝑓 ∈ {∅}))
1211abbi1dv 2772 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → {𝑓𝑓:𝑥1-1𝐵} = {∅})
1312fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → (#‘{𝑓𝑓:𝑥1-1𝐵}) = (#‘{∅}))
14 0ex 4823 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
15 hashsng 13197 . . . . . . 7 (∅ ∈ V → (#‘{∅}) = 1)
1614, 15ax-mp 5 . . . . . 6 (#‘{∅}) = 1
1713, 16syl6eq 2701 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → (#‘{𝑓𝑓:𝑥1-1𝐵}) = 1)
18 fveq2 6229 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ∅ → (#‘𝑥) = (#‘∅))
19 hash0 13196 . . . . . . . . 9 (#‘∅) = 0
2018, 19syl6eq 2701 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → (#‘𝑥) = 0)
2120fveq2d 6233 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (!‘(#‘𝑥)) = (!‘0))
22 fac0 13103 . . . . . . 7 (!‘0) = 1
2321, 22syl6eq 2701 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → (!‘(#‘𝑥)) = 1)
2420oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → ((#‘𝐵)C(#‘𝑥)) = ((#‘𝐵)C0))
2523, 24oveq12d 6708 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → ((!‘(#‘𝑥)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝑥))) = (1 · ((#‘𝐵)C0)))
2617, 25eqeq12d 2666 . . . 4 (𝑥 = ∅ → ((#‘{𝑓𝑓:𝑥1-1𝐵}) = ((!‘(#‘𝑥)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝑥))) ↔ 1 = (1 · ((#‘𝐵)C0))))
2726imbi2d 329 . . 3 (𝑥 = ∅ → ((𝐵 ∈ Fin → (#‘{𝑓𝑓:𝑥1-1𝐵}) = ((!‘(#‘𝑥)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝑥)))) ↔ (𝐵 ∈ Fin → 1 = (1 · ((#‘𝐵)C0)))))
28 f1eq2 6135 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑓:𝑥1-1𝐵𝑓:𝑦1-1𝐵))
2928abbidv 2770 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → {𝑓𝑓:𝑥1-1𝐵} = {𝑓𝑓:𝑦1-1𝐵})
3029fveq2d 6233 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (#‘{𝑓𝑓:𝑥1-1𝐵}) = (#‘{𝑓𝑓:𝑦1-1𝐵}))
31 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (#‘𝑥) = (#‘𝑦))
3231fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (!‘(#‘𝑥)) = (!‘(#‘𝑦)))
3331oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((#‘𝐵)C(#‘𝑥)) = ((#‘𝐵)C(#‘𝑦)))
3432, 33oveq12d 6708 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((!‘(#‘𝑥)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝑥))) = ((!‘(#‘𝑦)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝑦))))
3530, 34eqeq12d 2666 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((#‘{𝑓𝑓:𝑥1-1𝐵}) = ((!‘(#‘𝑥)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝑥))) ↔ (#‘{𝑓𝑓:𝑦1-1𝐵}) = ((!‘(#‘𝑦)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝑦)))))
3635imbi2d 329 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐵 ∈ Fin → (#‘{𝑓𝑓:𝑥1-1𝐵}) = ((!‘(#‘𝑥)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝑥)))) ↔ (𝐵 ∈ Fin → (#‘{𝑓𝑓:𝑦1-1𝐵}) = ((!‘(#‘𝑦)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝑦))))))
37 f1eq2 6135 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑓:𝑥1-1𝐵𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1𝐵))
3837abbidv 2770 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → {𝑓𝑓:𝑥1-1𝐵} = {𝑓𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1𝐵})
3938fveq2d 6233 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (#‘{𝑓𝑓:𝑥1-1𝐵}) = (#‘{𝑓𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1𝐵}))
40 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (#‘𝑥) = (#‘(𝑦 ∪ {𝑧})))
4140fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (!‘(#‘𝑥)) = (!‘(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))))
4240oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((#‘𝐵)C(#‘𝑥)) = ((#‘𝐵)C(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))))
4341, 42oveq12d 6708 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((!‘(#‘𝑥)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝑥))) = ((!‘(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((#‘𝐵)C(#‘(𝑦 ∪ {𝑧})))))
4439, 43eqeq12d 2666 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((#‘{𝑓𝑓:𝑥1-1𝐵}) = ((!‘(#‘𝑥)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝑥))) ↔ (#‘{𝑓𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1𝐵}) = ((!‘(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((#‘𝐵)C(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))))))
4544imbi2d 329 . . 3 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐵 ∈ Fin → (#‘{𝑓𝑓:𝑥1-1𝐵}) = ((!‘(#‘𝑥)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝑥)))) ↔ (𝐵 ∈ Fin → (#‘{𝑓𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1𝐵}) = ((!‘(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((#‘𝐵)C(#‘(𝑦 ∪ {𝑧})))))))
46 f1eq2 6135 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝑓:𝑥1-1𝐵𝑓:𝐴1-1𝐵))
4746abbidv 2770 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → {𝑓𝑓:𝑥1-1𝐵} = {𝑓𝑓:𝐴1-1𝐵})
4847fveq2d 6233 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (#‘{𝑓𝑓:𝑥1-1𝐵}) = (#‘{𝑓𝑓:𝐴1-1𝐵}))
49 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (#‘𝑥) = (#‘𝐴))
5049fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (!‘(#‘𝑥)) = (!‘(#‘𝐴)))
5149oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → ((#‘𝐵)C(#‘𝑥)) = ((#‘𝐵)C(#‘𝐴)))
5250, 51oveq12d 6708 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((!‘(#‘𝑥)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝑥))) = ((!‘(#‘𝐴)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝐴))))
5348, 52eqeq12d 2666 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((#‘{𝑓𝑓:𝑥1-1𝐵}) = ((!‘(#‘𝑥)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝑥))) ↔ (#‘{𝑓𝑓:𝐴1-1𝐵}) = ((!‘(#‘𝐴)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝐴)))))
5453imbi2d 329 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐵 ∈ Fin → (#‘{𝑓𝑓:𝑥1-1𝐵}) = ((!‘(#‘𝑥)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝑥)))) ↔ (𝐵 ∈ Fin → (#‘{𝑓𝑓:𝐴1-1𝐵}) = ((!‘(#‘𝐴)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝐴))))))
55 hashcl 13185 . . . . . 6 (𝐵 ∈ Fin → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
56 bcn0 13137 . . . . . 6 ((#‘𝐵) ∈ ℕ0 → ((#‘𝐵)C0) = 1)
5755, 56syl 17 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin → ((#‘𝐵)C0) = 1)
5857oveq2d 6706 . . . 4 (𝐵 ∈ Fin → (1 · ((#‘𝐵)C0)) = (1 · 1))
59 1t1e1 11213 . . . 4 (1 · 1) = 1
6058, 59syl6req 2702 . . 3 (𝐵 ∈ Fin → 1 = (1 · ((#‘𝐵)C0)))
61 abn0 3987 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑓𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1𝐵} ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1𝐵)
62 f1domg 8017 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ Fin → (𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1𝐵 → (𝑦 ∪ {𝑧}) ≼ 𝐵))
6362adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) → (𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1𝐵 → (𝑦 ∪ {𝑧}) ≼ 𝐵))
64 vex 3234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑧 ∈ V
65 hashunsng 13219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ V → ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (#‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((#‘𝑦) + 1)))
6664, 65ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (#‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((#‘𝑦) + 1))
6766adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) → (#‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((#‘𝑦) + 1))
6867breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) → ((#‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ≤ (#‘𝐵) ↔ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)))
69 simprl 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) → 𝑦 ∈ Fin)
70 snfi 8079 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {𝑧} ∈ Fin
71 unfi 8268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ Fin ∧ {𝑧} ∈ Fin) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
7269, 70, 71sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
73 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) → 𝐵 ∈ Fin)
74 hashdom 13206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((#‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ≤ (#‘𝐵) ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) ≼ 𝐵))
7572, 73, 74syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) → ((#‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ≤ (#‘𝐵) ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) ≼ 𝐵))
76 hashcl 13185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ Fin → (#‘𝑦) ∈ ℕ0)
7776ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) → (#‘𝑦) ∈ ℕ0)
78 nn0p1nn 11370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((#‘𝑦) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑦) + 1) ∈ ℕ)
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) → ((#‘𝑦) + 1) ∈ ℕ)
8079nnred 11073 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) → ((#‘𝑦) + 1) ∈ ℝ)
8155adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
8281nn0red 11390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) → (#‘𝐵) ∈ ℝ)
8380, 82lenltd 10221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) → (((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵) ↔ ¬ (#‘𝐵) < ((#‘𝑦) + 1)))
8468, 75, 833bitr3d 298 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ≼ 𝐵 ↔ ¬ (#‘𝐵) < ((#‘𝑦) + 1)))
8563, 84sylibd 229 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) → (𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1𝐵 → ¬ (#‘𝐵) < ((#‘𝑦) + 1)))
8685exlimdv 1901 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) → (∃𝑓 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1𝐵 → ¬ (#‘𝐵) < ((#‘𝑦) + 1)))
8761, 86syl5bi 232 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) → ({𝑓𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1𝐵} ≠ ∅ → ¬ (#‘𝐵) < ((#‘𝑦) + 1)))
8887necon4ad 2842 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) → ((#‘𝐵) < ((#‘𝑦) + 1) → {𝑓𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1𝐵} = ∅))
8988imp 444 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ (#‘𝐵) < ((#‘𝑦) + 1)) → {𝑓𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1𝐵} = ∅)
9089fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ (#‘𝐵) < ((#‘𝑦) + 1)) → (#‘{𝑓𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1𝐵}) = (#‘∅))
91 hashcl 13185 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin → (#‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ ℕ0)
9272, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) → (#‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ ℕ0)
93 faccl 13110 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ ℕ0 → (!‘(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) ∈ ℕ)
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) → (!‘(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) ∈ ℕ)
9594nncnd 11074 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) → (!‘(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) ∈ ℂ)
9695adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ (#‘𝐵) < ((#‘𝑦) + 1)) → (!‘(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) ∈ ℂ)
9796mul01d 10273 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ (#‘𝐵) < ((#‘𝑦) + 1)) → ((!‘(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · 0) = 0)
9819, 90, 973eqtr4a 2711 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ (#‘𝐵) < ((#‘𝑦) + 1)) → (#‘{𝑓𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1𝐵}) = ((!‘(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · 0))
9967adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ (#‘𝐵) < ((#‘𝑦) + 1)) → (#‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((#‘𝑦) + 1))
10099oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ (#‘𝐵) < ((#‘𝑦) + 1)) → ((#‘𝐵)C(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) = ((#‘𝐵)C((#‘𝑦) + 1)))
10181adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ (#‘𝐵) < ((#‘𝑦) + 1)) → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
10279adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ (#‘𝐵) < ((#‘𝑦) + 1)) → ((#‘𝑦) + 1) ∈ ℕ)
103102nnzd 11519 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ (#‘𝐵) < ((#‘𝑦) + 1)) → ((#‘𝑦) + 1) ∈ ℤ)
104 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ (#‘𝐵) < ((#‘𝑦) + 1)) → (#‘𝐵) < ((#‘𝑦) + 1))
105104olcd 407 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ (#‘𝐵) < ((#‘𝑦) + 1)) → (((#‘𝑦) + 1) < 0 ∨ (#‘𝐵) < ((#‘𝑦) + 1)))
106 bcval4 13134 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝐵) ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑦) + 1) ∈ ℤ ∧ (((#‘𝑦) + 1) < 0 ∨ (#‘𝐵) < ((#‘𝑦) + 1))) → ((#‘𝐵)C((#‘𝑦) + 1)) = 0)
107101, 103, 105, 106syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ (#‘𝐵) < ((#‘𝑦) + 1)) → ((#‘𝐵)C((#‘𝑦) + 1)) = 0)
108100, 107eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ (#‘𝐵) < ((#‘𝑦) + 1)) → ((#‘𝐵)C(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) = 0)
109108oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ (#‘𝐵) < ((#‘𝑦) + 1)) → ((!‘(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((#‘𝐵)C(#‘(𝑦 ∪ {𝑧})))) = ((!‘(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · 0))
11098, 109eqtr4d 2688 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ (#‘𝐵) < ((#‘𝑦) + 1)) → (#‘{𝑓𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1𝐵}) = ((!‘(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((#‘𝐵)C(#‘(𝑦 ∪ {𝑧})))))
111110a1d 25 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ (#‘𝐵) < ((#‘𝑦) + 1)) → ((#‘{𝑓𝑓:𝑦1-1𝐵}) = ((!‘(#‘𝑦)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝑦))) → (#‘{𝑓𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1𝐵}) = ((!‘(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((#‘𝐵)C(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))))))
112 oveq2 6698 . . . . . . 7 ((#‘{𝑓𝑓:𝑦1-1𝐵}) = ((!‘(#‘𝑦)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝑦))) → (((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) · (#‘{𝑓𝑓:𝑦1-1𝐵})) = (((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) · ((!‘(#‘𝑦)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝑦)))))
11369adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → 𝑦 ∈ Fin)
11473adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → 𝐵 ∈ Fin)
115 simplrr 818 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ¬ 𝑧𝑦)
116 simpr 476 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵))
117113, 114, 115, 116hashf1lem2 13278 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (#‘{𝑓𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1𝐵}) = (((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) · (#‘{𝑓𝑓:𝑦1-1𝐵})))
11881adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
119 faccl 13110 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝐵) ∈ ℕ0 → (!‘(#‘𝐵)) ∈ ℕ)
120118, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (!‘(#‘𝐵)) ∈ ℕ)
121120nncnd 11074 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (!‘(#‘𝐵)) ∈ ℂ)
12277adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (#‘𝑦) ∈ ℕ0)
123 peano2nn0 11371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑦) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑦) + 1) ∈ ℕ0)
124122, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((#‘𝑦) + 1) ∈ ℕ0)
125 nn0sub2 11476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((#‘𝑦) + 1) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1)) ∈ ℕ0)
126124, 118, 116, 125syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1)) ∈ ℕ0)
127 faccl 13110 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1)) ∈ ℕ0 → (!‘((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1))) ∈ ℕ)
128126, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (!‘((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1))) ∈ ℕ)
129128nncnd 11074 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (!‘((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1))) ∈ ℂ)
130128nnne0d 11103 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (!‘((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1))) ≠ 0)
131121, 129, 130divcld 10839 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((!‘(#‘𝐵)) / (!‘((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1)))) ∈ ℂ)
132 faccl 13110 . . . . . . . . . . . . 13 (((#‘𝑦) + 1) ∈ ℕ0 → (!‘((#‘𝑦) + 1)) ∈ ℕ)
133124, 132syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (!‘((#‘𝑦) + 1)) ∈ ℕ)
134133nncnd 11074 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (!‘((#‘𝑦) + 1)) ∈ ℂ)
135133nnne0d 11103 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (!‘((#‘𝑦) + 1)) ≠ 0)
136131, 134, 135divcan2d 10841 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((!‘((#‘𝑦) + 1)) · (((!‘(#‘𝐵)) / (!‘((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1)))) / (!‘((#‘𝑦) + 1)))) = ((!‘(#‘𝐵)) / (!‘((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1)))))
137118nn0cnd 11391 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (#‘𝐵) ∈ ℂ)
138122nn0cnd 11391 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (#‘𝑦) ∈ ℂ)
139137, 138subcld 10430 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) ∈ ℂ)
140 ax-1cn 10032 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
141 npcan 10328 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) − 1) + 1) = ((#‘𝐵) − (#‘𝑦)))
142139, 140, 141sylancl 695 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) − 1) + 1) = ((#‘𝐵) − (#‘𝑦)))
143 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → 1 ∈ ℂ)
144137, 138, 143subsub4d 10461 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) − 1) = ((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1)))
145144, 126eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) − 1) ∈ ℕ0)
146 nn0p1nn 11370 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) − 1) ∈ ℕ0 → ((((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) − 1) + 1) ∈ ℕ)
147145, 146syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) − 1) + 1) ∈ ℕ)
148142, 147eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) ∈ ℕ)
149148nnne0d 11103 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) ≠ 0)
150131, 139, 149divcan2d 10841 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) · (((!‘(#‘𝐵)) / (!‘((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1)))) / ((#‘𝐵) − (#‘𝑦)))) = ((!‘(#‘𝐵)) / (!‘((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1)))))
151136, 150eqtr4d 2688 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((!‘((#‘𝑦) + 1)) · (((!‘(#‘𝐵)) / (!‘((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1)))) / (!‘((#‘𝑦) + 1)))) = (((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) · (((!‘(#‘𝐵)) / (!‘((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1)))) / ((#‘𝐵) − (#‘𝑦)))))
15267adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (#‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((#‘𝑦) + 1))
153152fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (!‘(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) = (!‘((#‘𝑦) + 1)))
154 nn0uz 11760 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 = (ℤ‘0)
155124, 154syl6eleq 2740 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((#‘𝑦) + 1) ∈ (ℤ‘0))
156118nn0zd 11518 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (#‘𝐵) ∈ ℤ)
157 elfz5 12372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((#‘𝑦) + 1) ∈ (ℤ‘0) ∧ (#‘𝐵) ∈ ℤ) → (((#‘𝑦) + 1) ∈ (0...(#‘𝐵)) ↔ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)))
158155, 156, 157syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (((#‘𝑦) + 1) ∈ (0...(#‘𝐵)) ↔ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)))
159116, 158mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((#‘𝑦) + 1) ∈ (0...(#‘𝐵)))
160 bcval2 13132 . . . . . . . . . . . 12 (((#‘𝑦) + 1) ∈ (0...(#‘𝐵)) → ((#‘𝐵)C((#‘𝑦) + 1)) = ((!‘(#‘𝐵)) / ((!‘((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1))) · (!‘((#‘𝑦) + 1)))))
161159, 160syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((#‘𝐵)C((#‘𝑦) + 1)) = ((!‘(#‘𝐵)) / ((!‘((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1))) · (!‘((#‘𝑦) + 1)))))
162152oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((#‘𝐵)C(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) = ((#‘𝐵)C((#‘𝑦) + 1)))
163121, 129, 134, 130, 135divdiv1d 10870 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (((!‘(#‘𝐵)) / (!‘((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1)))) / (!‘((#‘𝑦) + 1))) = ((!‘(#‘𝐵)) / ((!‘((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1))) · (!‘((#‘𝑦) + 1)))))
164161, 162, 1633eqtr4d 2695 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((#‘𝐵)C(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) = (((!‘(#‘𝐵)) / (!‘((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1)))) / (!‘((#‘𝑦) + 1))))
165153, 164oveq12d 6708 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((!‘(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((#‘𝐵)C(#‘(𝑦 ∪ {𝑧})))) = ((!‘((#‘𝑦) + 1)) · (((!‘(#‘𝐵)) / (!‘((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1)))) / (!‘((#‘𝑦) + 1)))))
166122, 154syl6eleq 2740 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (#‘𝑦) ∈ (ℤ‘0))
167 peano2fzr 12392 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((#‘𝑦) ∈ (ℤ‘0) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ∈ (0...(#‘𝐵))) → (#‘𝑦) ∈ (0...(#‘𝐵)))
168166, 159, 167syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (#‘𝑦) ∈ (0...(#‘𝐵)))
169 bcval2 13132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑦) ∈ (0...(#‘𝐵)) → ((#‘𝐵)C(#‘𝑦)) = ((!‘(#‘𝐵)) / ((!‘((#‘𝐵) − (#‘𝑦))) · (!‘(#‘𝑦)))))
170168, 169syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((#‘𝐵)C(#‘𝑦)) = ((!‘(#‘𝐵)) / ((!‘((#‘𝐵) − (#‘𝑦))) · (!‘(#‘𝑦)))))
171 elfzle2 12383 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((#‘𝑦) ∈ (0...(#‘𝐵)) → (#‘𝑦) ≤ (#‘𝐵))
172168, 171syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (#‘𝑦) ≤ (#‘𝐵))
173 nn0sub2 11476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((#‘𝑦) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑦) ≤ (#‘𝐵)) → ((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) ∈ ℕ0)
174122, 118, 172, 173syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) ∈ ℕ0)
175 faccl 13110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) ∈ ℕ0 → (!‘((#‘𝐵) − (#‘𝑦))) ∈ ℕ)
176174, 175syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (!‘((#‘𝐵) − (#‘𝑦))) ∈ ℕ)
177176nncnd 11074 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (!‘((#‘𝐵) − (#‘𝑦))) ∈ ℂ)
178 faccl 13110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑦) ∈ ℕ0 → (!‘(#‘𝑦)) ∈ ℕ)
179122, 178syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (!‘(#‘𝑦)) ∈ ℕ)
180179nncnd 11074 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (!‘(#‘𝑦)) ∈ ℂ)
181176nnne0d 11103 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (!‘((#‘𝐵) − (#‘𝑦))) ≠ 0)
182179nnne0d 11103 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (!‘(#‘𝑦)) ≠ 0)
183121, 177, 180, 181, 182divdiv1d 10870 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (((!‘(#‘𝐵)) / (!‘((#‘𝐵) − (#‘𝑦)))) / (!‘(#‘𝑦))) = ((!‘(#‘𝐵)) / ((!‘((#‘𝐵) − (#‘𝑦))) · (!‘(#‘𝑦)))))
184170, 183eqtr4d 2688 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((#‘𝐵)C(#‘𝑦)) = (((!‘(#‘𝐵)) / (!‘((#‘𝐵) − (#‘𝑦)))) / (!‘(#‘𝑦))))
185184oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((!‘(#‘𝑦)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝑦))) = ((!‘(#‘𝑦)) · (((!‘(#‘𝐵)) / (!‘((#‘𝐵) − (#‘𝑦)))) / (!‘(#‘𝑦)))))
186 facnn2 13109 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) ∈ ℕ → (!‘((#‘𝐵) − (#‘𝑦))) = ((!‘(((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) − 1)) · ((#‘𝐵) − (#‘𝑦))))
187148, 186syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (!‘((#‘𝐵) − (#‘𝑦))) = ((!‘(((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) − 1)) · ((#‘𝐵) − (#‘𝑦))))
188144fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (!‘(((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) − 1)) = (!‘((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1))))
189188oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((!‘(((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) − 1)) · ((#‘𝐵) − (#‘𝑦))) = ((!‘((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1))) · ((#‘𝐵) − (#‘𝑦))))
190187, 189eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (!‘((#‘𝐵) − (#‘𝑦))) = ((!‘((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1))) · ((#‘𝐵) − (#‘𝑦))))
191190oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((!‘(#‘𝐵)) / (!‘((#‘𝐵) − (#‘𝑦)))) = ((!‘(#‘𝐵)) / ((!‘((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1))) · ((#‘𝐵) − (#‘𝑦)))))
192121, 177, 181divcld 10839 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((!‘(#‘𝐵)) / (!‘((#‘𝐵) − (#‘𝑦)))) ∈ ℂ)
193192, 180, 182divcan2d 10841 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((!‘(#‘𝑦)) · (((!‘(#‘𝐵)) / (!‘((#‘𝐵) − (#‘𝑦)))) / (!‘(#‘𝑦)))) = ((!‘(#‘𝐵)) / (!‘((#‘𝐵) − (#‘𝑦)))))
194121, 129, 139, 130, 149divdiv1d 10870 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (((!‘(#‘𝐵)) / (!‘((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1)))) / ((#‘𝐵) − (#‘𝑦))) = ((!‘(#‘𝐵)) / ((!‘((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1))) · ((#‘𝐵) − (#‘𝑦)))))
195191, 193, 1943eqtr4d 2695 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((!‘(#‘𝑦)) · (((!‘(#‘𝐵)) / (!‘((#‘𝐵) − (#‘𝑦)))) / (!‘(#‘𝑦)))) = (((!‘(#‘𝐵)) / (!‘((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1)))) / ((#‘𝐵) − (#‘𝑦))))
196185, 195eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((!‘(#‘𝑦)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝑦))) = (((!‘(#‘𝐵)) / (!‘((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1)))) / ((#‘𝐵) − (#‘𝑦))))
197196oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) · ((!‘(#‘𝑦)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝑦)))) = (((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) · (((!‘(#‘𝐵)) / (!‘((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1)))) / ((#‘𝐵) − (#‘𝑦)))))
198151, 165, 1973eqtr4d 2695 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((!‘(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((#‘𝐵)C(#‘(𝑦 ∪ {𝑧})))) = (((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) · ((!‘(#‘𝑦)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝑦)))))
199117, 198eqeq12d 2666 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((#‘{𝑓𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1𝐵}) = ((!‘(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((#‘𝐵)C(#‘(𝑦 ∪ {𝑧})))) ↔ (((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) · (#‘{𝑓𝑓:𝑦1-1𝐵})) = (((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) · ((!‘(#‘𝑦)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝑦))))))
200112, 199syl5ibr 236 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((#‘{𝑓𝑓:𝑦1-1𝐵}) = ((!‘(#‘𝑦)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝑦))) → (#‘{𝑓𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1𝐵}) = ((!‘(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((#‘𝐵)C(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))))))
201111, 200, 82, 80ltlecasei 10183 . . . . 5 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) → ((#‘{𝑓𝑓:𝑦1-1𝐵}) = ((!‘(#‘𝑦)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝑦))) → (#‘{𝑓𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1𝐵}) = ((!‘(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((#‘𝐵)C(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))))))
202201expcom 450 . . . 4 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (𝐵 ∈ Fin → ((#‘{𝑓𝑓:𝑦1-1𝐵}) = ((!‘(#‘𝑦)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝑦))) → (#‘{𝑓𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1𝐵}) = ((!‘(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((#‘𝐵)C(#‘(𝑦 ∪ {𝑧})))))))
203202a2d 29 . . 3 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → ((𝐵 ∈ Fin → (#‘{𝑓𝑓:𝑦1-1𝐵}) = ((!‘(#‘𝑦)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝑦)))) → (𝐵 ∈ Fin → (#‘{𝑓𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1𝐵}) = ((!‘(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((#‘𝐵)C(#‘(𝑦 ∪ {𝑧})))))))
20427, 36, 45, 54, 60, 203findcard2s 8242 . 2 (𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ∈ Fin → (#‘{𝑓𝑓:𝐴1-1𝐵}) = ((!‘(#‘𝐴)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝐴)))))
205204imp 444 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘{𝑓𝑓:𝐴1-1𝐵}) = ((!‘(#‘𝐴)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  {cab 2637  wne 2823  Vcvv 3231  cun 3605  c0 3948  {csn 4210   class class class wbr 4685   Fn wfn 5921  1-1wf1 5923  cfv 5926  (class class class)co 6690  cdom 7995  Fincfn 7997  cc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  ...cfz 12364  !cfa 13100  Ccbc 13129  #chash 13157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-seq 12842  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158
This theorem is referenced by:  hashfac  13280  birthdaylem2  24724
  Copyright terms: Public domain W3C validator