Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hasheuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hasheuni 30456
Description: The cardinality of a disjoint union, not necessarily finite. cf. hashuni 14757. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Nov-2016.) (Revised by Thierry Arnoux, 2-Jan-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 20-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
hasheuni ((𝐴𝑉Disj 𝑥𝐴 𝑥) → (♯‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉

Proof of Theorem hasheuni
StepHypRef Expression
1 nfdisj1 4785 . . . . . . . 8 𝑥Disj 𝑥𝐴 𝑥
2 nfv 1992 . . . . . . . 8 𝑥 𝐴 ∈ Fin
3 nfv 1992 . . . . . . . 8 𝑥 𝐴 ⊆ Fin
41, 2, 3nf3an 1980 . . . . . . 7 𝑥(Disj 𝑥𝐴 𝑥𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin)
5 simp2 1132 . . . . . . 7 ((Disj 𝑥𝐴 𝑥𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
6 simp3 1133 . . . . . . 7 ((Disj 𝑥𝐴 𝑥𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ⊆ Fin)
7 simp1 1131 . . . . . . 7 ((Disj 𝑥𝐴 𝑥𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → Disj 𝑥𝐴 𝑥)
84, 5, 6, 7hashunif 29871 . . . . . 6 ((Disj 𝑥𝐴 𝑥𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ𝑥𝐴 (♯‘𝑥))
9 simpl 474 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
10 dfss3 3733 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ⊆ Fin ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ Fin)
11 hashcl 13339 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
12 nn0re 11493 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑥) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑥) ∈ ℝ)
13 nn0ge0 11510 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑥) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (♯‘𝑥))
14 elrege0 12471 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((♯‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (♯‘𝑥)))
1512, 13, 14sylanbrc 701 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑥) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
1611, 15syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
1716ralimi 3090 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ Fin → ∀𝑥𝐴 (♯‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
1810, 17sylbi 207 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ Fin → ∀𝑥𝐴 (♯‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
1918r19.21bi 3070 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝑥𝐴) → (♯‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
2019adantll 752 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑥𝐴) → (♯‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
219, 20esumpfinval 30446 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥) = Σ𝑥𝐴 (♯‘𝑥))
22213adant1 1125 . . . . . 6 ((Disj 𝑥𝐴 𝑥𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥) = Σ𝑥𝐴 (♯‘𝑥))
238, 22eqtr4d 2797 . . . . 5 ((Disj 𝑥𝐴 𝑥𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥))
24233adant1l 1186 . . . 4 (((𝐴𝑉Disj 𝑥𝐴 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥))
25243expa 1112 . . 3 ((((𝐴𝑉Disj 𝑥𝐴 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥))
26 uniexg 7120 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 𝐴 ∈ V)
2710notbii 309 . . . . . . . . . 10 𝐴 ⊆ Fin ↔ ¬ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ Fin)
28 rexnal 3133 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥𝐴 ¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ Fin)
2927, 28bitr4i 267 . . . . . . . . 9 𝐴 ⊆ Fin ↔ ∃𝑥𝐴 ¬ 𝑥 ∈ Fin)
30 elssuni 4619 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴𝑥 𝐴)
31 ssfi 8345 . . . . . . . . . . . . 13 (( 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 𝐴) → 𝑥 ∈ Fin)
3231expcom 450 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 𝐴 → ( 𝐴 ∈ Fin → 𝑥 ∈ Fin))
3332con3d 148 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 𝐴 → (¬ 𝑥 ∈ Fin → ¬ 𝐴 ∈ Fin))
3430, 33syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴 → (¬ 𝑥 ∈ Fin → ¬ 𝐴 ∈ Fin))
3534rexlimiv 3165 . . . . . . . . 9 (∃𝑥𝐴 ¬ 𝑥 ∈ Fin → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
3629, 35sylbi 207 . . . . . . . 8 𝐴 ⊆ Fin → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
37 hashinf 13316 . . . . . . . 8 (( 𝐴 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘ 𝐴) = +∞)
3826, 36, 37syl2an 495 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = +∞)
39 vex 3343 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ V
40 hashinf 13316 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ V ∧ ¬ 𝑥 ∈ Fin) → (♯‘𝑥) = +∞)
4139, 40mpan 708 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝑥) = +∞)
4241reximi 3149 . . . . . . . . 9 (∃𝑥𝐴 ¬ 𝑥 ∈ Fin → ∃𝑥𝐴 (♯‘𝑥) = +∞)
4329, 42sylbi 207 . . . . . . . 8 𝐴 ⊆ Fin → ∃𝑥𝐴 (♯‘𝑥) = +∞)
44 nfv 1992 . . . . . . . . . 10 𝑥 𝐴𝑉
45 nfre1 3143 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑥𝐴 (♯‘𝑥) = +∞
4644, 45nfan 1977 . . . . . . . . 9 𝑥(𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐴 (♯‘𝑥) = +∞)
47 simpl 474 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐴 (♯‘𝑥) = +∞) → 𝐴𝑉)
48 hashf2 30455 . . . . . . . . . . 11 ♯:V⟶(0[,]+∞)
49 ffvelrn 6520 . . . . . . . . . . 11 ((♯:V⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ V) → (♯‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
5048, 39, 49mp2an 710 . . . . . . . . . 10 (♯‘𝑥) ∈ (0[,]+∞)
5150a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐴 (♯‘𝑥) = +∞) ∧ 𝑥𝐴) → (♯‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
52 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐴 (♯‘𝑥) = +∞) → ∃𝑥𝐴 (♯‘𝑥) = +∞)
5346, 47, 51, 52esumpinfval 30444 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐴 (♯‘𝑥) = +∞) → Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥) = +∞)
5443, 53sylan2 492 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ⊆ Fin) → Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥) = +∞)
5538, 54eqtr4d 2797 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥))
56553adant2 1126 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥))
57563adant1r 1188 . . . 4 (((𝐴𝑉Disj 𝑥𝐴 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥))
58573expa 1112 . . 3 ((((𝐴𝑉Disj 𝑥𝐴 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ ¬ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥))
5925, 58pm2.61dan 867 . 2 (((𝐴𝑉Disj 𝑥𝐴 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥))
60 pwfi 8426 . . . . . . 7 ( 𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
61 pwuni 4626 . . . . . . . 8 𝐴 ⊆ 𝒫 𝐴
62 ssfi 8345 . . . . . . . 8 ((𝒫 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
6361, 62mpan2 709 . . . . . . 7 (𝒫 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
6460, 63sylbi 207 . . . . . 6 ( 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
6564con3i 150 . . . . 5 𝐴 ∈ Fin → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
6626, 65, 37syl2an 495 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘ 𝐴) = +∞)
67 nftru 1879 . . . . . . . . 9 𝑥
68 unrab 4041 . . . . . . . . . . 11 ({𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∪ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}) = {𝑥𝐴 ∣ ((♯‘𝑥) = 0 ∨ ¬ (♯‘𝑥) = 0)}
69 exmid 430 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑥) = 0 ∨ ¬ (♯‘𝑥) = 0)
7069rgenw 3062 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐴 ((♯‘𝑥) = 0 ∨ ¬ (♯‘𝑥) = 0)
71 rabid2 3257 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = {𝑥𝐴 ∣ ((♯‘𝑥) = 0 ∨ ¬ (♯‘𝑥) = 0)} ↔ ∀𝑥𝐴 ((♯‘𝑥) = 0 ∨ ¬ (♯‘𝑥) = 0))
7270, 71mpbir 221 . . . . . . . . . . 11 𝐴 = {𝑥𝐴 ∣ ((♯‘𝑥) = 0 ∨ ¬ (♯‘𝑥) = 0)}
7368, 72eqtr4i 2785 . . . . . . . . . 10 ({𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∪ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}) = 𝐴
7473a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → ({𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∪ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}) = 𝐴)
7567, 74esumeq1d 30406 . . . . . . . 8 (⊤ → Σ*𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∪ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0})(♯‘𝑥) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥))
7675trud 1642 . . . . . . 7 Σ*𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∪ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0})(♯‘𝑥) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥)
77 nfrab1 3261 . . . . . . . 8 𝑥{𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0}
78 nfrab1 3261 . . . . . . . 8 𝑥{𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}
79 rabexg 4963 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 → {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∈ V)
80 rabexg 4963 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 → {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0} ∈ V)
81 rabnc 4105 . . . . . . . . 9 ({𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∩ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}) = ∅
8281a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 → ({𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∩ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}) = ∅)
8350a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0}) → (♯‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
8450a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}) → (♯‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
8544, 77, 78, 79, 80, 82, 83, 84esumsplit 30424 . . . . . . 7 (𝐴𝑉 → Σ*𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∪ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0})(♯‘𝑥) = (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) +𝑒 Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥)))
8676, 85syl5eqr 2808 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥) = (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) +𝑒 Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥)))
8786adantr 472 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥) = (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) +𝑒 Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥)))
88 nfv 1992 . . . . . . 7 𝑥(𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin)
8980adantr 472 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0} ∈ V)
90 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
91 dfrab3 4045 . . . . . . . . . . . 12 {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} = (𝐴 ∩ {𝑥 ∣ (♯‘𝑥) = 0})
92 hasheq0 13346 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ V → ((♯‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = ∅))
9339, 92ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = ∅)
9493abbii 2877 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑥 ∣ (♯‘𝑥) = 0} = {𝑥𝑥 = ∅}
95 df-sn 4322 . . . . . . . . . . . . . 14 {∅} = {𝑥𝑥 = ∅}
9694, 95eqtr4i 2785 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑥 ∣ (♯‘𝑥) = 0} = {∅}
9796ineq2i 3954 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∩ {𝑥 ∣ (♯‘𝑥) = 0}) = (𝐴 ∩ {∅})
9891, 97eqtri 2782 . . . . . . . . . . 11 {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} = (𝐴 ∩ {∅})
99 snfi 8203 . . . . . . . . . . . 12 {∅} ∈ Fin
100 inss2 3977 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∩ {∅}) ⊆ {∅}
101 ssfi 8345 . . . . . . . . . . . 12 (({∅} ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ {∅}) ⊆ {∅}) → (𝐴 ∩ {∅}) ∈ Fin)
10299, 100, 101mp2an 710 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∩ {∅}) ∈ Fin
10398, 102eqeltri 2835 . . . . . . . . . 10 {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∈ Fin
104103a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∈ Fin)
105 difinf 8395 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∈ Fin) → ¬ (𝐴 ∖ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0}) ∈ Fin)
10690, 104, 105syl2anc 696 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (𝐴 ∖ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0}) ∈ Fin)
107 notrab 4047 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∖ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0}) = {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}
108107eleq1i 2830 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∖ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0}) ∈ Fin ↔ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0} ∈ Fin)
109106, 108sylnib 317 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0} ∈ Fin)
11050a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}) → (♯‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
11139a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}) → 𝑥 ∈ V)
112 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0})
113 rabid 3254 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0} ↔ (𝑥𝐴 ∧ ¬ (♯‘𝑥) = 0))
114112, 113sylib 208 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}) → (𝑥𝐴 ∧ ¬ (♯‘𝑥) = 0))
115114simprd 482 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}) → ¬ (♯‘𝑥) = 0)
11693biimpri 218 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = 0)
117116necon3bi 2958 . . . . . . . . 9 (¬ (♯‘𝑥) = 0 → 𝑥 ≠ ∅)
118115, 117syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}) → 𝑥 ≠ ∅)
119 hashge1 13370 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅) → 1 ≤ (♯‘𝑥))
120111, 118, 119syl2anc 696 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}) → 1 ≤ (♯‘𝑥))
121 1re 10231 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
122121rexri 10289 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
123122a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 1 ∈ ℝ*)
124 0lt1 10742 . . . . . . . 8 0 < 1
125124a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 0 < 1)
12688, 78, 89, 109, 110, 120, 123, 125esumpinfsum 30448 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) = +∞)
127126oveq2d 6829 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) +𝑒 Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥)) = (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) +𝑒 +∞))
128 iccssxr 12449 . . . . . . 7 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
12979adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∈ V)
13050a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0}) → (♯‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
131130ralrimiva 3104 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
13277esumcl 30401 . . . . . . . 8 (({𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
133129, 131, 132syl2anc 696 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
134128, 133sseldi 3742 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) ∈ ℝ*)
135 xrge0neqmnf 12469 . . . . . . 7 *𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) ∈ (0[,]+∞) → Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) ≠ -∞)
136133, 135syl 17 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) ≠ -∞)
137 xaddpnf1 12250 . . . . . 6 ((Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) ≠ -∞) → (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) +𝑒 +∞) = +∞)
138134, 136, 137syl2anc 696 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) +𝑒 +∞) = +∞)
13987, 127, 1383eqtrd 2798 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥) = +∞)
14066, 139eqtr4d 2797 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥))
141140adantlr 753 . 2 (((𝐴𝑉Disj 𝑥𝐴 𝑥) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥))
14259, 141pm2.61dan 867 1 ((𝐴𝑉Disj 𝑥𝐴 𝑥) → (♯‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wtru 1633  wcel 2139  {cab 2746  wne 2932  wral 3050  wrex 3051  {crab 3054  Vcvv 3340  cdif 3712  cun 3713  cin 3714  wss 3715  c0 4058  𝒫 cpw 4302  {csn 4321   cuni 4588  Disj wdisj 4772   class class class wbr 4804  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  Fincfn 8121  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129  +∞cpnf 10263  -∞cmnf 10264  *cxr 10265   < clt 10266  cle 10267  0cn0 11484   +𝑒 cxad 12137  [,)cico 12370  [,]cicc 12371  chash 13311  Σcsu 14615  Σ*cesum 30398
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-bc 13284  df-hash 13312  df-shft 14006  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-ef 14997  df-sin 14999  df-cos 15000  df-pi 15002  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-ordt 16363  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-ps 17401  df-tsr 17402  df-plusf 17442  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mulg 17742  df-subg 17792  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-cring 18750  df-subrg 18980  df-abv 19019  df-lmod 19067  df-scaf 19068  df-sra 19374  df-rgmod 19375  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-lp 21142  df-perf 21143  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-haus 21321  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-tmd 22077  df-tgp 22078  df-tsms 22131  df-trg 22164  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-nm 22588  df-ngp 22589  df-nrg 22591  df-nlm 22592  df-ii 22881  df-cncf 22882  df-limc 23829  df-dv 23830  df-log 24502  df-esum 30399
This theorem is referenced by:  cntmeas  30598
  Copyright terms: Public domain W3C validator