MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hasheq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hasheq0 13366
Description: Two ways of saying a finite set is empty. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
hasheq0 (𝐴𝑉 → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))

Proof of Theorem hasheq0
StepHypRef Expression
1 pnfnre 10293 . . . . . . 7 +∞ ∉ ℝ
21neli 3037 . . . . . 6 ¬ +∞ ∈ ℝ
3 hashinf 13336 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
43eleq1d 2824 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
52, 4mtbiri 316 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
6 id 22 . . . . . 6 ((♯‘𝐴) = 0 → (♯‘𝐴) = 0)
7 0re 10252 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
86, 7syl6eqel 2847 . . . . 5 ((♯‘𝐴) = 0 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
95, 8nsyl 135 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (♯‘𝐴) = 0)
10 id 22 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
11 0fin 8355 . . . . . . 7 ∅ ∈ Fin
1210, 11syl6eqel 2847 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ Fin)
1312con3i 150 . . . . 5 𝐴 ∈ Fin → ¬ 𝐴 = ∅)
1413adantl 473 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 = ∅)
159, 142falsed 365 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
1615ex 449 . 2 (𝐴𝑉 → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅)))
17 hashen 13349 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∅ ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
1811, 17mpan2 709 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = (♯‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
19 fz10 12575 . . . . . 6 (1...0) = ∅
2019fveq2i 6356 . . . . 5 (♯‘(1...0)) = (♯‘∅)
21 0nn0 11519 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
22 hashfz1 13348 . . . . . 6 (0 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...0)) = 0)
2321, 22ax-mp 5 . . . . 5 (♯‘(1...0)) = 0
2420, 23eqtr3i 2784 . . . 4 (♯‘∅) = 0
2524eqeq2i 2772 . . 3 ((♯‘𝐴) = (♯‘∅) ↔ (♯‘𝐴) = 0)
26 en0 8186 . . 3 (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
2718, 25, 263bitr3g 302 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
2816, 27pm2.61d2 172 1 (𝐴𝑉 → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  c0 4058   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6814  cen 8120  Fincfn 8123  cr 10147  0cc0 10148  1c1 10149  +∞cpnf 10283  0cn0 11504  ...cfz 12539  chash 13331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-hash 13332
This theorem is referenced by:  hashneq0  13367  hashnncl  13369  hash0  13370  hashgt0  13389  hashle00  13400  seqcoll2  13461  prprrab  13467  hashle2pr  13471  hashge2el2difr  13475  ccat0  13568  ccat1st1st  13622  wrdind  13696  wrd2ind  13697  swrdccat3a  13714  swrdccat3blem  13715  rev0  13733  repsw0  13744  cshwidx0  13772  fz1f1o  14660  hashbc0  15931  0hashbc  15933  ram0  15948  cshws0  16030  gsmsymgrfix  18068  sylow1lem1  18233  sylow1lem4  18236  sylow2blem3  18257  frgpnabllem1  18496  0ringnnzr  19491  01eq0ring  19494  vieta1lem2  24285  tgldimor  25617  uhgr0vsize0  26351  uhgr0edgfi  26352  usgr1v0e  26438  fusgrfisbase  26440  vtxd0nedgb  26615  vtxdusgr0edgnelALT  26623  usgrvd0nedg  26660  vtxdginducedm1lem4  26669  finsumvtxdg2size  26677  cyclnspth  26927  iswwlksnx  26964  umgrclwwlkge2  27135  clwwisshclwws  27159  hashecclwwlkn1  27229  umgrhashecclwwlk  27230  vdn0conngrumgrv2  27369  frgrwopreg  27498  frrusgrord0lem  27514  wlkl0  27549  frgrregord013  27584  frgrregord13  27585  frgrogt3nreg  27586  friendshipgt3  27587  hasheuni  30477  signstfvn  30976  signstfveq0a  30983  signshnz  30998  elmrsubrn  31745  lindsrng01  42785
  Copyright terms: Public domain W3C validator