MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hasheni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hasheni 13340
Description: Equinumerous sets have the same number of elements (even if they are not finite). (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
hasheni (𝐴𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))

Proof of Theorem hasheni
StepHypRef Expression
1 simpl 468 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → 𝐴𝐵)
2 enfii 8333 . . . . 5 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
32ancoms 455 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
4 hashen 13339 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
53, 4sylancom 576 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
61, 5mpbird 247 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))
7 relen 8114 . . . . . 6 Rel ≈
87brrelexi 5298 . . . . 5 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
98adantr 466 . . . 4 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ V)
10 enfi 8332 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))
1110notbid 307 . . . . 5 (𝐴𝐵 → (¬ 𝐴 ∈ Fin ↔ ¬ 𝐵 ∈ Fin))
1211biimpar 463 . . . 4 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
13 hashinf 13326 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
149, 12, 13syl2anc 573 . . 3 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
157brrelex2i 5299 . . . 4 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
16 hashinf 13326 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
1715, 16sylan 569 . . 3 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
1814, 17eqtr4d 2808 . 2 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))
196, 18pm2.61dan 814 1 (𝐴𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351   class class class wbr 4786  cfv 6031  cen 8106  Fincfn 8109  +∞cpnf 10273  chash 13321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-hash 13322
This theorem is referenced by:  hashen1  13362  hashfn  13366  hashfz  13416  hashf1lem2  13442  ishashinf  13449  hashgcdeq  15701  ramub2  15925  ram0  15933  odhash  18196  odhash2  18197  odngen  18199  lsmhash  18325  znhash  20122  znunithash  20128  cyggic  20136  birthdaylem2  24900  0sgmppw  25144  logfac2  25163  lgsquadlem1  25326  lgsquadlem2  25327  lgsquadlem3  25328  wlknwwlksneqs  27029  numclwwlk1  27548  eulerpart  30784  ballotlemro  30924  ballotlemfrc  30928  ballotlem8  30938  rp-isfinite5  38389
  Copyright terms: Public domain W3C validator