Theorem hashen1 13198

Description: A set has size 1 if and only if it is equinumerous to the ordinal 1. (Contributed by AV, 14-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
hashen1	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((#‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ≈ 1𝑜))

Proof of Theorem hashen1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4823	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
2		hashsng 13197	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ V → (#‘{∅}) = 1)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#‘{∅}) = 1
4	3	eqcomi 2660	. . . 4 ⊢ 1 = (#‘{∅})
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 1 = (#‘{∅}))
6	5	eqeq2d 2661	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((#‘𝐴) = 1 ↔ (#‘𝐴) = (#‘{∅})))
7		simpr 476	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (#‘𝐴) = (#‘{∅})) → (#‘𝐴) = (#‘{∅}))
8		1nn0 11346	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9	3, 8	eqeltri 2726	. . . . . . . 8 ⊢ (#‘{∅}) ∈ ℕ0
10		hashvnfin 13189	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (#‘{∅}) ∈ ℕ0) → ((#‘𝐴) = (#‘{∅}) → 𝐴 ∈ Fin))
11	9, 10	mpan2 707	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((#‘𝐴) = (#‘{∅}) → 𝐴 ∈ Fin))
12	11	imp 444	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (#‘𝐴) = (#‘{∅})) → 𝐴 ∈ Fin)
13		snfi 8079	. . . . . 6 ⊢ {∅} ∈ Fin
14		hashen 13175	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ {∅} ∈ Fin) → ((#‘𝐴) = (#‘{∅}) ↔ 𝐴 ≈ {∅}))
15	12, 13, 14	sylancl 695	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (#‘𝐴) = (#‘{∅})) → ((#‘𝐴) = (#‘{∅}) ↔ 𝐴 ≈ {∅}))
16	7, 15	mpbid 222	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (#‘𝐴) = (#‘{∅})) → 𝐴 ≈ {∅})
17	16	ex 449	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((#‘𝐴) = (#‘{∅}) → 𝐴 ≈ {∅}))
18		hasheni 13176	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ {∅} → (#‘𝐴) = (#‘{∅}))
19	17, 18	impbid1 215	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((#‘𝐴) = (#‘{∅}) ↔ 𝐴 ≈ {∅}))
20		df1o2 7617	. . . . 5 ⊢ 1𝑜 = {∅}
21	20	eqcomi 2660	. . . 4 ⊢ {∅} = 1𝑜
22	21	breq2i 4693	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ {∅} ↔ 𝐴 ≈ 1𝑜)
23	22	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ≈ {∅} ↔ 𝐴 ≈ 1𝑜))
24	6, 19, 23	3bitrd 294	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((#‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ≈ 1𝑜))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231  ∅c0 3948  {csn 4210   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  1_𝑜c1o 7598   ≈ cen 7994  Fincfn 7997  1c1 9975  ℕ₀cn0 11330  #chash 13157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-hash 13158

This theorem is referenced by:  euhash1  13246  0ring  19318  0ring01eqbi  19321