MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashen1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashen1 13198
Description: A set has size 1 if and only if it is equinumerous to the ordinal 1. (Contributed by AV, 14-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
hashen1 (𝐴𝑉 → ((#‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ≈ 1𝑜))

Proof of Theorem hashen1
StepHypRef Expression
1 0ex 4823 . . . . . 6 ∅ ∈ V
2 hashsng 13197 . . . . . 6 (∅ ∈ V → (#‘{∅}) = 1)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 (#‘{∅}) = 1
43eqcomi 2660 . . . 4 1 = (#‘{∅})
54a1i 11 . . 3 (𝐴𝑉 → 1 = (#‘{∅}))
65eqeq2d 2661 . 2 (𝐴𝑉 → ((#‘𝐴) = 1 ↔ (#‘𝐴) = (#‘{∅})))
7 simpr 476 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (#‘𝐴) = (#‘{∅})) → (#‘𝐴) = (#‘{∅}))
8 1nn0 11346 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
93, 8eqeltri 2726 . . . . . . . 8 (#‘{∅}) ∈ ℕ0
10 hashvnfin 13189 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ (#‘{∅}) ∈ ℕ0) → ((#‘𝐴) = (#‘{∅}) → 𝐴 ∈ Fin))
119, 10mpan2 707 . . . . . . 7 (𝐴𝑉 → ((#‘𝐴) = (#‘{∅}) → 𝐴 ∈ Fin))
1211imp 444 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (#‘𝐴) = (#‘{∅})) → 𝐴 ∈ Fin)
13 snfi 8079 . . . . . 6 {∅} ∈ Fin
14 hashen 13175 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ {∅} ∈ Fin) → ((#‘𝐴) = (#‘{∅}) ↔ 𝐴 ≈ {∅}))
1512, 13, 14sylancl 695 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (#‘𝐴) = (#‘{∅})) → ((#‘𝐴) = (#‘{∅}) ↔ 𝐴 ≈ {∅}))
167, 15mpbid 222 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (#‘𝐴) = (#‘{∅})) → 𝐴 ≈ {∅})
1716ex 449 . . 3 (𝐴𝑉 → ((#‘𝐴) = (#‘{∅}) → 𝐴 ≈ {∅}))
18 hasheni 13176 . . 3 (𝐴 ≈ {∅} → (#‘𝐴) = (#‘{∅}))
1917, 18impbid1 215 . 2 (𝐴𝑉 → ((#‘𝐴) = (#‘{∅}) ↔ 𝐴 ≈ {∅}))
20 df1o2 7617 . . . . 5 1𝑜 = {∅}
2120eqcomi 2660 . . . 4 {∅} = 1𝑜
2221breq2i 4693 . . 3 (𝐴 ≈ {∅} ↔ 𝐴 ≈ 1𝑜)
2322a1i 11 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐴 ≈ {∅} ↔ 𝐴 ≈ 1𝑜))
246, 19, 233bitrd 294 1 (𝐴𝑉 → ((#‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ≈ 1𝑜))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  c0 3948  {csn 4210   class class class wbr 4685  cfv 5926  1𝑜c1o 7598  cen 7994  Fincfn 7997  1c1 9975  0cn0 11330  #chash 13157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-hash 13158
This theorem is referenced by:  euhash1  13246  0ring  19318  0ring01eqbi  19321
  Copyright terms: Public domain W3C validator