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Theorem hashdvds 15527
Description: The number of numbers in a given residue class in a finite set of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
hashdvds.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
hashdvds.2 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
hashdvds.3 (𝜑𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 − 1)))
hashdvds.4 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
hashdvds (𝜑 → (#‘{𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥𝐶)}) = ((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑁
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem hashdvds
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1zzd 11446 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
2 hashdvds.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 − 1)))
3 eluzelz 11735 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 − 1)) → 𝐵 ∈ ℤ)
42, 3syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
5 hashdvds.4 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
64, 5zsubcld 11525 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝐶) ∈ ℤ)
76zred 11520 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝐶) ∈ ℝ)
8 hashdvds.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
97, 8nndivred 11107 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵𝐶) / 𝑁) ∈ ℝ)
109flcld 12639 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) ∈ ℤ)
11 hashdvds.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
12 peano2zm 11458 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
1413, 5zsubcld 11525 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 − 1) − 𝐶) ∈ ℤ)
1514zred 11520 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 − 1) − 𝐶) ∈ ℝ)
1615, 8nndivred 11107 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℝ)
1716flcld 12639 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) ∈ ℤ)
1810, 17zsubcld 11525 . . . . . 6 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) ∈ ℤ)
19 fzen 12396 . . . . . 6 ((1 ∈ ℤ ∧ ((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) ∈ ℤ) → (1...((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ≈ ((1 + (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))...(((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) + (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))))
201, 18, 17, 19syl3anc 1366 . . . . 5 (𝜑 → (1...((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ≈ ((1 + (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))...(((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) + (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))))
21 ax-1cn 10032 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
2217zcnd 11521 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) ∈ ℂ)
23 addcom 10260 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) ∈ ℂ) → (1 + (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) = ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1))
2421, 22, 23sylancr 696 . . . . . 6 (𝜑 → (1 + (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) = ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1))
2510zcnd 11521 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) ∈ ℂ)
2625, 22npcand 10434 . . . . . 6 (𝜑 → (((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) + (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) = (⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))
2724, 26oveq12d 6708 . . . . 5 (𝜑 → ((1 + (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))...(((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) + (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) = (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))))
2820, 27breqtrd 4711 . . . 4 (𝜑 → (1...((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ≈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))))
29 ovexd 6720 . . . . 5 (𝜑 → (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))) ∈ V)
30 fzfi 12811 . . . . . 6 (𝐴...𝐵) ∈ Fin
31 rabexg 4844 . . . . . 6 ((𝐴...𝐵) ∈ Fin → {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥𝐶)} ∈ V)
3230, 31mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥𝐶)} ∈ V)
33 elfzle1 12382 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))) → ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ≤ 𝑧)
3433adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ≤ 𝑧)
35 elfzelz 12380 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))) → 𝑧 ∈ ℤ)
36 zltp1le 11465 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < 𝑧 ↔ ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ≤ 𝑧))
3717, 35, 36syl2an 493 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < 𝑧 ↔ ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ≤ 𝑧))
3834, 37mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < 𝑧)
39 fllt 12647 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < 𝑧 ↔ (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < 𝑧))
4016, 35, 39syl2an 493 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → ((((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < 𝑧 ↔ (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < 𝑧))
4138, 40mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < 𝑧)
4215adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → ((𝐴 − 1) − 𝐶) ∈ ℝ)
4335adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → 𝑧 ∈ ℤ)
4443zred 11520 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → 𝑧 ∈ ℝ)
458nnred 11073 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
468nngt0d 11102 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 𝑁)
4745, 46jca 553 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
4847adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
49 ltdivmul2 10938 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 − 1) − 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < 𝑧 ↔ ((𝐴 − 1) − 𝐶) < (𝑧 · 𝑁)))
5042, 44, 48, 49syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → ((((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < 𝑧 ↔ ((𝐴 − 1) − 𝐶) < (𝑧 · 𝑁)))
5141, 50mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → ((𝐴 − 1) − 𝐶) < (𝑧 · 𝑁))
5213zred 11520 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
5352adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
545zred 11520 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
5554adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → 𝐶 ∈ ℝ)
568nnzd 11519 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
5756adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
5843, 57zmulcld 11526 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → (𝑧 · 𝑁) ∈ ℤ)
5958zred 11520 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → (𝑧 · 𝑁) ∈ ℝ)
6053, 55, 59ltsubaddd 10661 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → (((𝐴 − 1) − 𝐶) < (𝑧 · 𝑁) ↔ (𝐴 − 1) < ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶)))
6151, 60mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → (𝐴 − 1) < ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶))
6211adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → 𝐴 ∈ ℤ)
635adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → 𝐶 ∈ ℤ)
6458, 63zaddcld 11524 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∈ ℤ)
65 zlem1lt 11467 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ↔ (𝐴 − 1) < ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶)))
6662, 64, 65syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → (𝐴 ≤ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ↔ (𝐴 − 1) < ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶)))
6761, 66mpbird 247 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → 𝐴 ≤ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶))
68 elfzle2 12383 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))) → 𝑧 ≤ (⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))
6968adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → 𝑧 ≤ (⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))
70 flge 12646 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐵𝐶) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ≤ ((𝐵𝐶) / 𝑁) ↔ 𝑧 ≤ (⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))))
719, 35, 70syl2an 493 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → (𝑧 ≤ ((𝐵𝐶) / 𝑁) ↔ 𝑧 ≤ (⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))))
7269, 71mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → 𝑧 ≤ ((𝐵𝐶) / 𝑁))
737adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → (𝐵𝐶) ∈ ℝ)
74 lemuldiv 10941 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐵𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑧 · 𝑁) ≤ (𝐵𝐶) ↔ 𝑧 ≤ ((𝐵𝐶) / 𝑁)))
7544, 73, 48, 74syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → ((𝑧 · 𝑁) ≤ (𝐵𝐶) ↔ 𝑧 ≤ ((𝐵𝐶) / 𝑁)))
7672, 75mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → (𝑧 · 𝑁) ≤ (𝐵𝐶))
774zred 11520 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
7877adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
79 leaddsub 10542 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ≤ 𝐵 ↔ (𝑧 · 𝑁) ≤ (𝐵𝐶)))
8059, 55, 78, 79syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ≤ 𝐵 ↔ (𝑧 · 𝑁) ≤ (𝐵𝐶)))
8176, 80mpbird 247 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ≤ 𝐵)
824adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → 𝐵 ∈ ℤ)
83 elfz 12370 . . . . . . . . 9 ((((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∈ (𝐴...𝐵) ↔ (𝐴 ≤ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∧ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ≤ 𝐵)))
8464, 62, 82, 83syl3anc 1366 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∈ (𝐴...𝐵) ↔ (𝐴 ≤ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∧ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ≤ 𝐵)))
8567, 81, 84mpbir2and 977 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∈ (𝐴...𝐵))
86 dvdsmul2 15051 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑁))
8743, 57, 86syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → 𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑁))
8858zcnd 11521 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → (𝑧 · 𝑁) ∈ ℂ)
895zcnd 11521 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
9089adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → 𝐶 ∈ ℂ)
9188, 90pncand 10431 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) − 𝐶) = (𝑧 · 𝑁))
9287, 91breqtrrd 4713 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → 𝑁 ∥ (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) − 𝐶))
93 oveq1 6697 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) → (𝑥𝐶) = (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) − 𝐶))
9493breq2d 4697 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) → (𝑁 ∥ (𝑥𝐶) ↔ 𝑁 ∥ (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) − 𝐶)))
9594elrab 3396 . . . . . . 7 (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥𝐶)} ↔ (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) − 𝐶)))
9685, 92, 95sylanbrc 699 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥𝐶)})
9796ex 449 . . . . 5 (𝜑 → (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))) → ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥𝐶)}))
98 oveq1 6697 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐶) = (𝑦𝐶))
9998breq2d 4697 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑁 ∥ (𝑥𝐶) ↔ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶)))
10099elrab 3396 . . . . . 6 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥𝐶)} ↔ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶)))
10152adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
102 elfzelz 12380 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) → 𝑦 ∈ ℤ)
103102ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → 𝑦 ∈ ℤ)
104103zred 11520 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → 𝑦 ∈ ℝ)
10554adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → 𝐶 ∈ ℝ)
106 elfzle1 12382 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) → 𝐴𝑦)
107106ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → 𝐴𝑦)
10811adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → 𝐴 ∈ ℤ)
109 zlem1lt 11467 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝐴𝑦 ↔ (𝐴 − 1) < 𝑦))
110108, 103, 109syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → (𝐴𝑦 ↔ (𝐴 − 1) < 𝑦))
111107, 110mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → (𝐴 − 1) < 𝑦)
112101, 104, 105, 111ltsub1dd 10677 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → ((𝐴 − 1) − 𝐶) < (𝑦𝐶))
11315adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → ((𝐴 − 1) − 𝐶) ∈ ℝ)
1145adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → 𝐶 ∈ ℤ)
115103, 114zsubcld 11525 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → (𝑦𝐶) ∈ ℤ)
116115zred 11520 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → (𝑦𝐶) ∈ ℝ)
11747adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
118 ltdiv1 10925 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 − 1) − 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝑦𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (((𝐴 − 1) − 𝐶) < (𝑦𝐶) ↔ (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < ((𝑦𝐶) / 𝑁)))
119113, 116, 117, 118syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → (((𝐴 − 1) − 𝐶) < (𝑦𝐶) ↔ (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < ((𝑦𝐶) / 𝑁)))
120112, 119mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < ((𝑦𝐶) / 𝑁))
12116adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℝ)
122 simprr 811 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))
12356adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → 𝑁 ∈ ℤ)
1248nnne0d 11103 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ≠ 0)
125124adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → 𝑁 ≠ 0)
126 dvdsval2 15030 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑦𝐶) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝑦𝐶) ↔ ((𝑦𝐶) / 𝑁) ∈ ℤ))
127123, 125, 115, 126syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → (𝑁 ∥ (𝑦𝐶) ↔ ((𝑦𝐶) / 𝑁) ∈ ℤ))
128122, 127mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → ((𝑦𝐶) / 𝑁) ∈ ℤ)
129 fllt 12647 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑦𝐶) / 𝑁) ∈ ℤ) → ((((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < ((𝑦𝐶) / 𝑁) ↔ (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < ((𝑦𝐶) / 𝑁)))
130121, 128, 129syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → ((((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < ((𝑦𝐶) / 𝑁) ↔ (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < ((𝑦𝐶) / 𝑁)))
131120, 130mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < ((𝑦𝐶) / 𝑁))
13217adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) ∈ ℤ)
133 zltp1le 11465 . . . . . . . . . 10 (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) ∈ ℤ ∧ ((𝑦𝐶) / 𝑁) ∈ ℤ) → ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < ((𝑦𝐶) / 𝑁) ↔ ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ≤ ((𝑦𝐶) / 𝑁)))
134132, 128, 133syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < ((𝑦𝐶) / 𝑁) ↔ ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ≤ ((𝑦𝐶) / 𝑁)))
135131, 134mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ≤ ((𝑦𝐶) / 𝑁))
13677adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → 𝐵 ∈ ℝ)
137 elfzle2 12383 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) → 𝑦𝐵)
138137ad2antrl 764 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → 𝑦𝐵)
139104, 136, 105, 138lesub1dd 10681 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → (𝑦𝐶) ≤ (𝐵𝐶))
1407adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → (𝐵𝐶) ∈ ℝ)
141 lediv1 10926 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑦𝐶) ≤ (𝐵𝐶) ↔ ((𝑦𝐶) / 𝑁) ≤ ((𝐵𝐶) / 𝑁)))
142116, 140, 117, 141syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → ((𝑦𝐶) ≤ (𝐵𝐶) ↔ ((𝑦𝐶) / 𝑁) ≤ ((𝐵𝐶) / 𝑁)))
143139, 142mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → ((𝑦𝐶) / 𝑁) ≤ ((𝐵𝐶) / 𝑁))
1449adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → ((𝐵𝐶) / 𝑁) ∈ ℝ)
145 flge 12646 . . . . . . . . . 10 ((((𝐵𝐶) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑦𝐶) / 𝑁) ∈ ℤ) → (((𝑦𝐶) / 𝑁) ≤ ((𝐵𝐶) / 𝑁) ↔ ((𝑦𝐶) / 𝑁) ≤ (⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))))
146144, 128, 145syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → (((𝑦𝐶) / 𝑁) ≤ ((𝐵𝐶) / 𝑁) ↔ ((𝑦𝐶) / 𝑁) ≤ (⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))))
147143, 146mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → ((𝑦𝐶) / 𝑁) ≤ (⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))
14817peano2zd 11523 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ∈ ℤ)
149148adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ∈ ℤ)
15010adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → (⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) ∈ ℤ)
151 elfz 12370 . . . . . . . . 9 ((((𝑦𝐶) / 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ (⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) ∈ ℤ) → (((𝑦𝐶) / 𝑁) ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))) ↔ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ≤ ((𝑦𝐶) / 𝑁) ∧ ((𝑦𝐶) / 𝑁) ≤ (⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))))
152128, 149, 150, 151syl3anc 1366 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → (((𝑦𝐶) / 𝑁) ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))) ↔ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ≤ ((𝑦𝐶) / 𝑁) ∧ ((𝑦𝐶) / 𝑁) ≤ (⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))))
153135, 147, 152mpbir2and 977 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → ((𝑦𝐶) / 𝑁) ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))))
154153ex 449 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶)) → ((𝑦𝐶) / 𝑁) ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))))
155100, 154syl5bi 232 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥𝐶)} → ((𝑦𝐶) / 𝑁) ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))))
156100anbi2i 730 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥𝐶)}) ↔ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))))
157115zcnd 11521 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → (𝑦𝐶) ∈ ℂ)
158157adantrl 752 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶)))) → (𝑦𝐶) ∈ ℂ)
15943zcnd 11521 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → 𝑧 ∈ ℂ)
160159adantrr 753 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶)))) → 𝑧 ∈ ℂ)
1618nncnd 11074 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
162161adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶)))) → 𝑁 ∈ ℂ)
163124adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶)))) → 𝑁 ≠ 0)
164158, 160, 162, 163divmul3d 10873 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶)))) → (((𝑦𝐶) / 𝑁) = 𝑧 ↔ (𝑦𝐶) = (𝑧 · 𝑁)))
165103zcnd 11521 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → 𝑦 ∈ ℂ)
166165adantrl 752 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶)))) → 𝑦 ∈ ℂ)
16789adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶)))) → 𝐶 ∈ ℂ)
16888adantrr 753 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶)))) → (𝑧 · 𝑁) ∈ ℂ)
169166, 167, 168subadd2d 10449 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶)))) → ((𝑦𝐶) = (𝑧 · 𝑁) ↔ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) = 𝑦))
170164, 169bitrd 268 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶)))) → (((𝑦𝐶) / 𝑁) = 𝑧 ↔ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) = 𝑦))
171 eqcom 2658 . . . . . . . 8 (𝑧 = ((𝑦𝐶) / 𝑁) ↔ ((𝑦𝐶) / 𝑁) = 𝑧)
172 eqcom 2658 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ↔ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) = 𝑦)
173170, 171, 1723bitr4g 303 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶)))) → (𝑧 = ((𝑦𝐶) / 𝑁) ↔ 𝑦 = ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶)))
174156, 173sylan2b 491 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥𝐶)})) → (𝑧 = ((𝑦𝐶) / 𝑁) ↔ 𝑦 = ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶)))
175174ex 449 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥𝐶)}) → (𝑧 = ((𝑦𝐶) / 𝑁) ↔ 𝑦 = ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶))))
17629, 32, 97, 155, 175en3d 8034 . . . 4 (𝜑 → (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))) ≈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥𝐶)})
177 entr 8049 . . . 4 (((1...((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ≈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))) ∧ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))) ≈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥𝐶)}) → (1...((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ≈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥𝐶)})
17828, 176, 177syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → (1...((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ≈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥𝐶)})
179 fzfi 12811 . . . 4 (1...((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ∈ Fin
180 ssrab2 3720 . . . . 5 {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥𝐶)} ⊆ (𝐴...𝐵)
181 ssfi 8221 . . . . 5 (((𝐴...𝐵) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥𝐶)} ⊆ (𝐴...𝐵)) → {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥𝐶)} ∈ Fin)
18230, 180, 181mp2an 708 . . . 4 {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥𝐶)} ∈ Fin
183 hashen 13175 . . . 4 (((1...((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥𝐶)} ∈ Fin) → ((#‘(1...((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))) = (#‘{𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥𝐶)}) ↔ (1...((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ≈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥𝐶)}))
184179, 182, 183mp2an 708 . . 3 ((#‘(1...((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))) = (#‘{𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥𝐶)}) ↔ (1...((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ≈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥𝐶)})
185178, 184sylibr 224 . 2 (𝜑 → (#‘(1...((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))) = (#‘{𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥𝐶)}))
186 eluzle 11738 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 − 1)) → (𝐴 − 1) ≤ 𝐵)
1872, 186syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 − 1) ≤ 𝐵)
188 zre 11419 . . . . . . . 8 ((𝐴 − 1) ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
189 zre 11419 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
190 zre 11419 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℝ)
191 lesub1 10560 . . . . . . . 8 (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) ≤ 𝐵 ↔ ((𝐴 − 1) − 𝐶) ≤ (𝐵𝐶)))
192188, 189, 190, 191syl3an 1408 . . . . . . 7 (((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐴 − 1) ≤ 𝐵 ↔ ((𝐴 − 1) − 𝐶) ≤ (𝐵𝐶)))
19313, 4, 5, 192syl3anc 1366 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 − 1) ≤ 𝐵 ↔ ((𝐴 − 1) − 𝐶) ≤ (𝐵𝐶)))
194187, 193mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 − 1) − 𝐶) ≤ (𝐵𝐶))
195 lediv1 10926 . . . . . 6 ((((𝐴 − 1) − 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (((𝐴 − 1) − 𝐶) ≤ (𝐵𝐶) ↔ (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) ≤ ((𝐵𝐶) / 𝑁)))
19615, 7, 47, 195syl3anc 1366 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴 − 1) − 𝐶) ≤ (𝐵𝐶) ↔ (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) ≤ ((𝐵𝐶) / 𝑁)))
197194, 196mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) ≤ ((𝐵𝐶) / 𝑁))
198 flword2 12654 . . . 4 (((((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝐵𝐶) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) ≤ ((𝐵𝐶) / 𝑁)) → (⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) ∈ (ℤ‘(⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))
19916, 9, 197, 198syl3anc 1366 . . 3 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) ∈ (ℤ‘(⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))
200 uznn0sub 11757 . . 3 ((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) ∈ (ℤ‘(⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) → ((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) ∈ ℕ0)
201 hashfz1 13174 . . 3 (((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) ∈ ℕ0 → (#‘(1...((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))) = ((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))
202199, 200, 2013syl 18 . 2 (𝜑 → (#‘(1...((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))) = ((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))
203185, 202eqtr3d 2687 1 (𝜑 → (#‘{𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥𝐶)}) = ((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  {crab 2945  Vcvv 3231  wss 3607   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cen 7994  Fincfn 7997  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  ...cfz 12364  cfl 12631  #chash 13157  cdvds 15027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fl 12633  df-hash 13158  df-dvds 15028
This theorem is referenced by:  phiprmpw  15528  prmreclem4  15670  ppiub  24974  hashnzfz  38836
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