MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashcl 13185
Description: Closure of the # function. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
hashcl (𝐴 ∈ Fin → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem hashcl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . . 3 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
21hashgval 13160 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = (#‘𝐴))
3 ficardom 8825 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)
41hashgf1o 12810 . . . . 5 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5 f1of 6175 . . . . 5 ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω⟶ℕ0)
64, 5ax-mp 5 . . . 4 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω⟶ℕ0
76ffvelrni 6398 . . 3 ((card‘𝐴) ∈ ω → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) ∈ ℕ0)
83, 7syl 17 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) ∈ ℕ0)
92, 8eqeltrrd 2731 1 (𝐴 ∈ Fin → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2030  Vcvv 3231  cmpt 4762  cres 5145  wf 5922  1-1-ontowf1o 5925  cfv 5926  (class class class)co 6690  ωcom 7107  reccrdg 7550  Fincfn 7997  cardccrd 8799  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  0cn0 11330  #chash 13157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-hash 13158
This theorem is referenced by:  hashclb  13187  isfinite4  13191  hashnncl  13195  hashdom  13206  hashsdom  13208  hashun2  13210  hashun3  13211  hashunx  13213  1elfz0hash  13217  hashssdif  13238  hashdifpr  13241  hashunlei  13250  hashsslei  13251  hashxplem  13258  hashmap  13260  hashfun  13262  hashreshashfun  13264  fnfz0hashnn0  13270  fnfzo0hashnn0  13273  hashbclem  13274  hashf1lem2  13278  hashf1  13279  hashfac  13280  fz1isolem  13283  seqcoll2  13287  hashge2el2dif  13300  hashtpg  13305  hash1to3  13311  fi1uzind  13317  brfi1indALT  13320  lencl  13356  wrdnfi  13370  ccatval2  13396  splfv1  13552  splfv2a  13553  ofccat  13754  isercoll  14442  fz1f1o  14485  o1fsum  14589  hashiun  14598  hash2iun1dif1  14600  ackbijnn  14604  incexclem  14612  incexc  14613  incexc2  14614  climcndslem1  14625  climcndslem2  14626  sumodd  15158  phicl2  15520  phiprmpw  15528  sumhash  15647  prmreclem3  15669  prmreclem4  15670  prmreclem5  15671  4sqlem11  15706  vdwlem11  15742  vdwlem12  15743  vdwlem13  15744  ramlb  15770  0ram  15771  ramub1lem1  15777  ramub1lem2  15778  lagsubg2  17702  lagsubg  17703  psgnunilem4  17963  odhash3  18037  gexdvds3  18051  sylow1lem1  18059  sylow1lem5  18063  pgpfi  18066  pgpssslw  18075  sylow2alem2  18079  sylow2a  18080  sylow2blem3  18083  sylow3lem3  18090  sylow3lem4  18091  sylow3lem6  18093  cyggex2  18344  ablfacrplem  18510  ablfacrp2  18512  ablfac1c  18516  ablfac1eulem  18517  ablfac1eu  18518  pgpfac1lem2  18520  pgpfaclem2  18527  ablfaclem3  18532  0ringnnzr  19317  cygznlem1  19963  cygznlem2a  19964  cygznlem3  19966  cygth  19968  mdet1  20455  chpscmatgsumbin  20697  chpscmatgsummon  20698  tsmsxp  22005  fta1glem2  23971  fta1blem  23973  fta1lem  24107  vieta1lem2  24111  birthday  24726  ppif  24901  isnsqf  24906  muf  24911  0sgm  24915  mule1  24919  ppidif  24934  mumul  24952  musum  24962  ppiub  24974  chpub  24990  dchrabs  25030  sumdchr2  25040  dchrhash  25041  lgsquadlem1  25150  lgsquadlem2  25151  lgsquadlem3  25152  rpvmasum2  25246  dchrisum0re  25247  pntlemr  25336  pntlemj  25337  fusgredgfi  26262  hashnbusgrnn0  26322  nbusgrvtxm1  26325  vtxdgfival  26421  vtxdgfisnn0  26427  vtxdginducedm1fi  26496  finsumvtxdg2ssteplem4  26500  finsumvtxdgeven  26504  upgrwlkdvdelem  26688  clwwlkndivn  27044  konigsberglem5  27234  frrusgrord0lem  27319  numclwwlk1  27351  numclwwlk3  27372  numclwwlk5  27375  numclwwlk6  27377  frgrregord013  27382  frgrogt3nreg  27384  friendshipgt3  27385  friendship  27386  esumcst  30253  hasheuni  30275  coinfliplem  30668  coinflippv  30673  ballotlemfelz  30680  ballotlemfp1  30681  ballotlemgun  30714  ballotth  30727  ofcccat  30748  signshf  30793  reprlt  30825  hashreprin  30826  derangf  31276  derangen2  31282  subfacp1lem1  31287  erdszelem8  31306  erdsze2lem1  31311  snmlff  31437  poimirlem26  33565  poimirlem27  33566  poimirlem28  33567  rrnequiv  33764  rrntotbnd  33765  eldioph2lem1  37640  isnumbasgrplem3  37992  rp-isfinite5  38180  fzisoeu  39828  stoweidlem26  40561  fourierdlem36  40678  fourierdlem52  40693  fourierdlem102  40743  fourierdlem114  40755  rrndistlt  40828  hoicvrrex  41091  pgrple2abl  42471  pgrpgt2nabl  42472
  Copyright terms: Public domain W3C validator