MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash2pwpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hash2pwpr 13241
Description: If the size of a subset of an unordered pair is 2, the subset is the pair itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
hash2pwpr (((#‘𝑃) = 2 ∧ 𝑃 ∈ 𝒫 {𝑋, 𝑌}) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})

Proof of Theorem hash2pwpr
StepHypRef Expression
1 pwpr 4421 . . . . 5 𝒫 {𝑋, 𝑌} = ({∅, {𝑋}} ∪ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}})
21eleq2i 2691 . . . 4 (𝑃 ∈ 𝒫 {𝑋, 𝑌} ↔ 𝑃 ∈ ({∅, {𝑋}} ∪ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}))
3 elun 3745 . . . 4 (𝑃 ∈ ({∅, {𝑋}} ∪ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}) ↔ (𝑃 ∈ {∅, {𝑋}} ∨ 𝑃 ∈ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}))
42, 3bitri 264 . . 3 (𝑃 ∈ 𝒫 {𝑋, 𝑌} ↔ (𝑃 ∈ {∅, {𝑋}} ∨ 𝑃 ∈ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}))
5 fveq2 6178 . . . . . . 7 (𝑃 = ∅ → (#‘𝑃) = (#‘∅))
6 hash0 13141 . . . . . . . . 9 (#‘∅) = 0
76eqeq2i 2632 . . . . . . . 8 ((#‘𝑃) = (#‘∅) ↔ (#‘𝑃) = 0)
8 eqeq1 2624 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑃) = 0 → ((#‘𝑃) = 2 ↔ 0 = 2))
9 0ne2 11224 . . . . . . . . . 10 0 ≠ 2
10 eqneqall 2802 . . . . . . . . . 10 (0 = 2 → (0 ≠ 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
119, 10mpi 20 . . . . . . . . 9 (0 = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})
128, 11syl6bi 243 . . . . . . . 8 ((#‘𝑃) = 0 → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
137, 12sylbi 207 . . . . . . 7 ((#‘𝑃) = (#‘∅) → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
145, 13syl 17 . . . . . 6 (𝑃 = ∅ → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
15 hashsng 13142 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ V → (#‘{𝑋}) = 1)
16 fveq2 6178 . . . . . . . . . . 11 ({𝑋} = 𝑃 → (#‘{𝑋}) = (#‘𝑃))
1716eqcoms 2628 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = {𝑋} → (#‘{𝑋}) = (#‘𝑃))
1817eqeq1d 2622 . . . . . . . . 9 (𝑃 = {𝑋} → ((#‘{𝑋}) = 1 ↔ (#‘𝑃) = 1))
19 eqeq1 2624 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑃) = 1 → ((#‘𝑃) = 2 ↔ 1 = 2))
20 1ne2 11225 . . . . . . . . . . 11 1 ≠ 2
21 eqneqall 2802 . . . . . . . . . . 11 (1 = 2 → (1 ≠ 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
2220, 21mpi 20 . . . . . . . . . 10 (1 = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})
2319, 22syl6bi 243 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑃) = 1 → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
2418, 23syl6bi 243 . . . . . . . 8 (𝑃 = {𝑋} → ((#‘{𝑋}) = 1 → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
2515, 24syl5com 31 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ V → (𝑃 = {𝑋} → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
26 snprc 4244 . . . . . . . 8 𝑋 ∈ V ↔ {𝑋} = ∅)
27 eqeq2 2631 . . . . . . . . 9 ({𝑋} = ∅ → (𝑃 = {𝑋} ↔ 𝑃 = ∅))
285, 6syl6eq 2670 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 = ∅ → (#‘𝑃) = 0)
2928eqeq1d 2622 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = ∅ → ((#‘𝑃) = 2 ↔ 0 = 2))
3029, 11syl6bi 243 . . . . . . . . 9 (𝑃 = ∅ → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
3127, 30syl6bi 243 . . . . . . . 8 ({𝑋} = ∅ → (𝑃 = {𝑋} → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
3226, 31sylbi 207 . . . . . . 7 𝑋 ∈ V → (𝑃 = {𝑋} → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
3325, 32pm2.61i 176 . . . . . 6 (𝑃 = {𝑋} → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
3414, 33jaoi 394 . . . . 5 ((𝑃 = ∅ ∨ 𝑃 = {𝑋}) → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
35 hashsng 13142 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ V → (#‘{𝑌}) = 1)
36 fveq2 6178 . . . . . . . . . . 11 ({𝑌} = 𝑃 → (#‘{𝑌}) = (#‘𝑃))
3736eqcoms 2628 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = {𝑌} → (#‘{𝑌}) = (#‘𝑃))
3837eqeq1d 2622 . . . . . . . . 9 (𝑃 = {𝑌} → ((#‘{𝑌}) = 1 ↔ (#‘𝑃) = 1))
3938, 23syl6bi 243 . . . . . . . 8 (𝑃 = {𝑌} → ((#‘{𝑌}) = 1 → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
4035, 39syl5com 31 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ V → (𝑃 = {𝑌} → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
41 snprc 4244 . . . . . . . 8 𝑌 ∈ V ↔ {𝑌} = ∅)
42 eqeq2 2631 . . . . . . . . 9 ({𝑌} = ∅ → (𝑃 = {𝑌} ↔ 𝑃 = ∅))
435eqeq1d 2622 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = ∅ → ((#‘𝑃) = 2 ↔ (#‘∅) = 2))
446eqeq1i 2625 . . . . . . . . . . 11 ((#‘∅) = 2 ↔ 0 = 2)
4544, 11sylbi 207 . . . . . . . . . 10 ((#‘∅) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})
4643, 45syl6bi 243 . . . . . . . . 9 (𝑃 = ∅ → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
4742, 46syl6bi 243 . . . . . . . 8 ({𝑌} = ∅ → (𝑃 = {𝑌} → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
4841, 47sylbi 207 . . . . . . 7 𝑌 ∈ V → (𝑃 = {𝑌} → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
4940, 48pm2.61i 176 . . . . . 6 (𝑃 = {𝑌} → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
50 ax-1 6 . . . . . 6 (𝑃 = {𝑋, 𝑌} → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
5149, 50jaoi 394 . . . . 5 ((𝑃 = {𝑌} ∨ 𝑃 = {𝑋, 𝑌}) → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
5234, 51jaoi 394 . . . 4 (((𝑃 = ∅ ∨ 𝑃 = {𝑋}) ∨ (𝑃 = {𝑌} ∨ 𝑃 = {𝑋, 𝑌})) → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
53 elpri 4188 . . . . 5 (𝑃 ∈ {∅, {𝑋}} → (𝑃 = ∅ ∨ 𝑃 = {𝑋}))
54 elpri 4188 . . . . 5 (𝑃 ∈ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}} → (𝑃 = {𝑌} ∨ 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
5553, 54orim12i 538 . . . 4 ((𝑃 ∈ {∅, {𝑋}} ∨ 𝑃 ∈ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}) → ((𝑃 = ∅ ∨ 𝑃 = {𝑋}) ∨ (𝑃 = {𝑌} ∨ 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
5652, 55syl11 33 . . 3 ((#‘𝑃) = 2 → ((𝑃 ∈ {∅, {𝑋}} ∨ 𝑃 ∈ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
574, 56syl5bi 232 . 2 ((#‘𝑃) = 2 → (𝑃 ∈ 𝒫 {𝑋, 𝑌} → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
5857imp 445 1 (((#‘𝑃) = 2 ∧ 𝑃 ∈ 𝒫 {𝑋, 𝑌}) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 383  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791  Vcvv 3195  cun 3565  c0 3907  𝒫 cpw 4149  {csn 4168  {cpr 4170  cfv 5876  0cc0 9921  1c1 9922  2c2 11055  #chash 13100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312  df-hash 13101
This theorem is referenced by:  pr2pwpr  13244
  Copyright terms: Public domain W3C validator