MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash2prde Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hash2prde 13235
Description: A set of size two is an unordered pair of two different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
hash2prde ((𝑉𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) → ∃𝑎𝑏(𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏}))
Distinct variable groups:   𝑉,𝑎,𝑏   𝑊,𝑎,𝑏

Proof of Theorem hash2prde
StepHypRef Expression
1 hash2pr 13234 . 2 ((𝑉𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) → ∃𝑎𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏})
2 equid 1937 . . . . . . 7 𝑏 = 𝑏
3 vex 3198 . . . . . . . . 9 𝑎 ∈ V
4 vex 3198 . . . . . . . . 9 𝑏 ∈ V
53, 4, 4preqsn 4384 . . . . . . . 8 ({𝑎, 𝑏} = {𝑏} ↔ (𝑎 = 𝑏𝑏 = 𝑏))
6 eqeq2 2631 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑎, 𝑏} = {𝑏} → (𝑉 = {𝑎, 𝑏} ↔ 𝑉 = {𝑏}))
7 fveq2 6178 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑉 = {𝑏} → (#‘𝑉) = (#‘{𝑏}))
8 hashsng 13142 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ V → (#‘{𝑏}) = 1)
94, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (#‘{𝑏}) = 1
107, 9syl6eq 2670 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑉 = {𝑏} → (#‘𝑉) = 1)
11 eqeq1 2624 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑉) = 2 → ((#‘𝑉) = 1 ↔ 2 = 1))
12 1ne2 11225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ≠ 2
13 df-ne 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 ≠ 2 ↔ ¬ 1 = 2)
14 pm2.21 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ 1 = 2 → (1 = 2 → 𝑎𝑏))
1513, 14sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 ≠ 2 → (1 = 2 → 𝑎𝑏))
1612, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 = 2 → 𝑎𝑏)
1716eqcoms 2628 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 = 1 → 𝑎𝑏)
1811, 17syl6bi 243 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑉) = 2 → ((#‘𝑉) = 1 → 𝑎𝑏))
1918adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑉𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) → ((#‘𝑉) = 1 → 𝑎𝑏))
2010, 19syl5com 31 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 = {𝑏} → ((𝑉𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) → 𝑎𝑏))
216, 20syl6bi 243 . . . . . . . . . . 11 ({𝑎, 𝑏} = {𝑏} → (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → ((𝑉𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) → 𝑎𝑏)))
2221com13 88 . . . . . . . . . 10 ((𝑉𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) → (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → ({𝑎, 𝑏} = {𝑏} → 𝑎𝑏)))
2322imp 445 . . . . . . . . 9 (((𝑉𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → ({𝑎, 𝑏} = {𝑏} → 𝑎𝑏))
2423com12 32 . . . . . . . 8 ({𝑎, 𝑏} = {𝑏} → (((𝑉𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎𝑏))
255, 24sylbir 225 . . . . . . 7 ((𝑎 = 𝑏𝑏 = 𝑏) → (((𝑉𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎𝑏))
262, 25mpan2 706 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (((𝑉𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎𝑏))
27 ax-1 6 . . . . . 6 (𝑎𝑏 → (((𝑉𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎𝑏))
2826, 27pm2.61ine 2874 . . . . 5 (((𝑉𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎𝑏)
29 simpr 477 . . . . 5 (((𝑉𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑉 = {𝑎, 𝑏})
3028, 29jca 554 . . . 4 (((𝑉𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → (𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏}))
3130ex 450 . . 3 ((𝑉𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) → (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → (𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏})))
32312eximdv 1846 . 2 ((𝑉𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) → (∃𝑎𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏} → ∃𝑎𝑏(𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏})))
331, 32mpd 15 1 ((𝑉𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) → ∃𝑎𝑏(𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1481  wex 1702  wcel 1988  wne 2791  Vcvv 3195  {csn 4168  {cpr 4170  cfv 5876  1c1 9922  2c2 11055  #chash 13100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-card 8750  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312  df-hash 13101
This theorem is referenced by:  hash2exprb  13236  umgredg  26014  frgrregord013  27223
  Copyright terms: Public domain W3C validator