MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash2pr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hash2pr 13289
Description: A set of size two is an unordered pair. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
hash2pr ((𝑉𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) → ∃𝑎𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏})
Distinct variable group:   𝑉,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝑊(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hash2pr
StepHypRef Expression
1 2nn0 11347 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
2 hashvnfin 13189 . . . . 5 ((𝑉𝑊 ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((#‘𝑉) = 2 → 𝑉 ∈ Fin))
31, 2mpan2 707 . . . 4 (𝑉𝑊 → ((#‘𝑉) = 2 → 𝑉 ∈ Fin))
43imp 444 . . 3 ((𝑉𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) → 𝑉 ∈ Fin)
5 hash2 13231 . . . . . . . 8 (#‘2𝑜) = 2
65eqcomi 2660 . . . . . . 7 2 = (#‘2𝑜)
76a1i 11 . . . . . 6 (𝑉 ∈ Fin → 2 = (#‘2𝑜))
87eqeq2d 2661 . . . . 5 (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) = 2 ↔ (#‘𝑉) = (#‘2𝑜)))
9 2onn 7765 . . . . . . . 8 2𝑜 ∈ ω
10 nnfi 8194 . . . . . . . 8 (2𝑜 ∈ ω → 2𝑜 ∈ Fin)
119, 10ax-mp 5 . . . . . . 7 2𝑜 ∈ Fin
12 hashen 13175 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 2𝑜 ∈ Fin) → ((#‘𝑉) = (#‘2𝑜) ↔ 𝑉 ≈ 2𝑜))
1311, 12mpan2 707 . . . . . 6 (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) = (#‘2𝑜) ↔ 𝑉 ≈ 2𝑜))
1413biimpd 219 . . . . 5 (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) = (#‘2𝑜) → 𝑉 ≈ 2𝑜))
158, 14sylbid 230 . . . 4 (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) = 2 → 𝑉 ≈ 2𝑜))
1615adantld 482 . . 3 (𝑉 ∈ Fin → ((𝑉𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) → 𝑉 ≈ 2𝑜))
174, 16mpcom 38 . 2 ((𝑉𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) → 𝑉 ≈ 2𝑜)
18 en2 8237 . 2 (𝑉 ≈ 2𝑜 → ∃𝑎𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏})
1917, 18syl 17 1 ((𝑉𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) → ∃𝑎𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  {cpr 4212   class class class wbr 4685  cfv 5926  ωcom 7107  2𝑜c2o 7599  cen 7994  Fincfn 7997  2c2 11108  0cn0 11330  #chash 13157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-hash 13158
This theorem is referenced by:  hash2prde  13290  hashle2pr  13297  hash1to3  13311
  Copyright terms: Public domain W3C validator