MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash2iun1dif1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hash2iun1dif1 14755
Description: The cardinality of a nested disjoint indexed union. (Contributed by AV, 9-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
hash2iun1dif1.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
hash2iun1dif1.b 𝐵 = (𝐴 ∖ {𝑥})
hash2iun1dif1.c ((𝜑𝑥𝐴𝑦𝐵) → 𝐶 ∈ Fin)
hash2iun1dif1.da (𝜑Disj 𝑥𝐴 𝑦𝐵 𝐶)
hash2iun1dif1.db ((𝜑𝑥𝐴) → Disj 𝑦𝐵 𝐶)
hash2iun1dif1.1 ((𝜑𝑥𝐴𝑦𝐵) → (♯‘𝐶) = 1)
Assertion
Ref Expression
hash2iun1dif1 (𝜑 → (♯‘ 𝑥𝐴 𝑦𝐵 𝐶) = ((♯‘𝐴) · ((♯‘𝐴) − 1)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem hash2iun1dif1
StepHypRef Expression
1 hash2iun1dif1.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 hash2iun1dif1.b . . . 4 𝐵 = (𝐴 ∖ {𝑥})
3 diffi 8357 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
41, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
54adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
62, 5syl5eqel 2843 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
7 hash2iun1dif1.c . . 3 ((𝜑𝑥𝐴𝑦𝐵) → 𝐶 ∈ Fin)
8 hash2iun1dif1.da . . 3 (𝜑Disj 𝑥𝐴 𝑦𝐵 𝐶)
9 hash2iun1dif1.db . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → Disj 𝑦𝐵 𝐶)
101, 6, 7, 8, 9hash2iun 14754 . 2 (𝜑 → (♯‘ 𝑥𝐴 𝑦𝐵 𝐶) = Σ𝑥𝐴 Σ𝑦𝐵 (♯‘𝐶))
11 hash2iun1dif1.1 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴𝑦𝐵) → (♯‘𝐶) = 1)
12112sumeq2dv 14635 . 2 (𝜑 → Σ𝑥𝐴 Σ𝑦𝐵 (♯‘𝐶) = Σ𝑥𝐴 Σ𝑦𝐵 1)
13 1cnd 10248 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 1 ∈ ℂ)
14 fsumconst 14721 . . . . 5 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑦𝐵 1 = ((♯‘𝐵) · 1))
156, 13, 14syl2anc 696 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → Σ𝑦𝐵 1 = ((♯‘𝐵) · 1))
1615sumeq2dv 14632 . . 3 (𝜑 → Σ𝑥𝐴 Σ𝑦𝐵 1 = Σ𝑥𝐴 ((♯‘𝐵) · 1))
172a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 = (𝐴 ∖ {𝑥}))
1817fveq2d 6356 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (♯‘𝐵) = (♯‘(𝐴 ∖ {𝑥})))
19 hashdifsn 13394 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐴) → (♯‘(𝐴 ∖ {𝑥})) = ((♯‘𝐴) − 1))
201, 19sylan 489 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (♯‘(𝐴 ∖ {𝑥})) = ((♯‘𝐴) − 1))
2118, 20eqtrd 2794 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (♯‘𝐵) = ((♯‘𝐴) − 1))
2221oveq1d 6828 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ((♯‘𝐵) · 1) = (((♯‘𝐴) − 1) · 1))
2322sumeq2dv 14632 . . 3 (𝜑 → Σ𝑥𝐴 ((♯‘𝐵) · 1) = Σ𝑥𝐴 (((♯‘𝐴) − 1) · 1))
24 hashcl 13339 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
251, 24syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
2625nn0cnd 11545 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
27 peano2cnm 10539 . . . . . . 7 ((♯‘𝐴) ∈ ℂ → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℂ)
2826, 27syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℂ)
2928mulid1d 10249 . . . . 5 (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) · 1) = ((♯‘𝐴) − 1))
3029sumeq2ad 14633 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑥𝐴 (((♯‘𝐴) − 1) · 1) = Σ𝑥𝐴 ((♯‘𝐴) − 1))
31 fsumconst 14721 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℂ) → Σ𝑥𝐴 ((♯‘𝐴) − 1) = ((♯‘𝐴) · ((♯‘𝐴) − 1)))
321, 28, 31syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑥𝐴 ((♯‘𝐴) − 1) = ((♯‘𝐴) · ((♯‘𝐴) − 1)))
3330, 32eqtrd 2794 . . 3 (𝜑 → Σ𝑥𝐴 (((♯‘𝐴) − 1) · 1) = ((♯‘𝐴) · ((♯‘𝐴) − 1)))
3416, 23, 333eqtrd 2798 . 2 (𝜑 → Σ𝑥𝐴 Σ𝑦𝐵 1 = ((♯‘𝐴) · ((♯‘𝐴) − 1)))
3510, 12, 343eqtrd 2798 1 (𝜑 → (♯‘ 𝑥𝐴 𝑦𝐵 𝐶) = ((♯‘𝐴) · ((♯‘𝐴) − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  cdif 3712  {csn 4321   ciun 4672  Disj wdisj 4772  cfv 6049  (class class class)co 6813  Fincfn 8121  cc 10126  1c1 10129   · cmul 10133  cmin 10458  0cn0 11484  chash 13311  Σcsu 14615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-sum 14616
This theorem is referenced by:  frgrhash2wsp  27486  fusgreghash2wspv  27489
  Copyright terms: Public domain W3C validator