Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash1to3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hash1to3 13256
 Description: If the size of a set is between 1 and 3 (inclusively), the set is a singleton or an unordered pair or an unordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
hash1to3 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 1 ≤ (#‘𝑉) ∧ (#‘𝑉) ≤ 3) → ∃𝑎𝑏𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
Distinct variable group:   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐

Proof of Theorem hash1to3
StepHypRef Expression
1 hashcl 13130 . . 3 (𝑉 ∈ Fin → (#‘𝑉) ∈ ℕ0)
2 nn01to3 11766 . . 3 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (#‘𝑉) ∧ (#‘𝑉) ≤ 3) → ((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 2 ∨ (#‘𝑉) = 3))
31, 2syl3an1 1357 . 2 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 1 ≤ (#‘𝑉) ∧ (#‘𝑉) ≤ 3) → ((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 2 ∨ (#‘𝑉) = 3))
4 hash1snb 13190 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑎 𝑉 = {𝑎}))
54biimpa 501 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ (#‘𝑉) = 1) → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎})
6 3mix1 1228 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 = {𝑎} → (𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
762eximi 1761 . . . . . . . . . 10 (∃𝑏𝑐 𝑉 = {𝑎} → ∃𝑏𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
8719.23bi 2059 . . . . . . . . 9 (∃𝑐 𝑉 = {𝑎} → ∃𝑏𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
9819.23bi 2059 . . . . . . . 8 (𝑉 = {𝑎} → ∃𝑏𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
109eximi 1760 . . . . . . 7 (∃𝑎 𝑉 = {𝑎} → ∃𝑎𝑏𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
115, 10syl 17 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ Fin ∧ (#‘𝑉) = 1) → ∃𝑎𝑏𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
1211expcom 451 . . . . 5 ((#‘𝑉) = 1 → (𝑉 ∈ Fin → ∃𝑎𝑏𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
13 hash2pr 13234 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ (#‘𝑉) = 2) → ∃𝑎𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏})
14 3mix2 1229 . . . . . . . . . 10 (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → (𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
1514eximi 1760 . . . . . . . . 9 (∃𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏} → ∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
161519.23bi 2059 . . . . . . . 8 (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → ∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
17162eximi 1761 . . . . . . 7 (∃𝑎𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏} → ∃𝑎𝑏𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
1813, 17syl 17 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ Fin ∧ (#‘𝑉) = 2) → ∃𝑎𝑏𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
1918expcom 451 . . . . 5 ((#‘𝑉) = 2 → (𝑉 ∈ Fin → ∃𝑎𝑏𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
20 hash3tr 13255 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ (#‘𝑉) = 3) → ∃𝑎𝑏𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})
21 3mix3 1230 . . . . . . . . 9 (𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → (𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
2221eximi 1760 . . . . . . . 8 (∃𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → ∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
23222eximi 1761 . . . . . . 7 (∃𝑎𝑏𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → ∃𝑎𝑏𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
2420, 23syl 17 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ Fin ∧ (#‘𝑉) = 3) → ∃𝑎𝑏𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
2524expcom 451 . . . . 5 ((#‘𝑉) = 3 → (𝑉 ∈ Fin → ∃𝑎𝑏𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
2612, 19, 253jaoi 1389 . . . 4 (((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 2 ∨ (#‘𝑉) = 3) → (𝑉 ∈ Fin → ∃𝑎𝑏𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
2726com12 32 . . 3 (𝑉 ∈ Fin → (((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 2 ∨ (#‘𝑉) = 3) → ∃𝑎𝑏𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
28273ad2ant1 1080 . 2 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 1 ≤ (#‘𝑉) ∧ (#‘𝑉) ≤ 3) → (((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 2 ∨ (#‘𝑉) = 3) → ∃𝑎𝑏𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
293, 28mpd 15 1 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 1 ≤ (#‘𝑉) ∧ (#‘𝑉) ≤ 3) → ∃𝑎𝑏𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∨ w3o 1035   ∧ w3a 1036   = wceq 1481  ∃wex 1702   ∈ wcel 1988  {csn 4168  {cpr 4170  {ctp 4172   class class class wbr 4644  ‘cfv 5876  Fincfn 7940  1c1 9922   ≤ cle 10060  2c2 11055  3c3 11056  ℕ0cn0 11277  #chash 13100 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-3o 7547  df-oadd 7549  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-card 8750  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312  df-hash 13101 This theorem is referenced by:  friendship  27227
 Copyright terms: Public domain W3C validator