Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash1snb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hash1snb 13399
 Description: The size of a set is 1 if and only if it is a singleton (containing a set). (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
hash1snb (𝑉𝑊 → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑎 𝑉 = {𝑎}))
Distinct variable group:   𝑉,𝑎
Allowed substitution hint:   𝑊(𝑎)

Proof of Theorem hash1snb
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑉) = 1 → (♯‘𝑉) = 1)
2 hash1 13384 . . . . . . . . 9 (♯‘1𝑜) = 1
31, 2syl6eqr 2812 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑉) = 1 → (♯‘𝑉) = (♯‘1𝑜))
43adantl 473 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (♯‘𝑉) = (♯‘1𝑜))
5 1onn 7888 . . . . . . . . 9 1𝑜 ∈ ω
6 nnfi 8318 . . . . . . . . 9 (1𝑜 ∈ ω → 1𝑜 ∈ Fin)
75, 6mp1i 13 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑉) = 1 → 1𝑜 ∈ Fin)
8 hashen 13329 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 1𝑜 ∈ Fin) → ((♯‘𝑉) = (♯‘1𝑜) ↔ 𝑉 ≈ 1𝑜))
97, 8sylan2 492 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 1) → ((♯‘𝑉) = (♯‘1𝑜) ↔ 𝑉 ≈ 1𝑜))
104, 9mpbid 222 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝑉 ≈ 1𝑜)
11 en1 8188 . . . . . 6 (𝑉 ≈ 1𝑜 ↔ ∃𝑎 𝑉 = {𝑎})
1210, 11sylib 208 . . . . 5 ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 1) → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎})
1312ex 449 . . . 4 (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = 1 → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎}))
1413a1d 25 . . 3 (𝑉 ∈ Fin → (𝑉𝑊 → ((♯‘𝑉) = 1 → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎})))
15 hashinf 13316 . . . . 5 ((𝑉𝑊 ∧ ¬ 𝑉 ∈ Fin) → (♯‘𝑉) = +∞)
16 eqeq1 2764 . . . . . 6 ((♯‘𝑉) = +∞ → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ +∞ = 1))
17 1re 10231 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
18 renepnf 10279 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℝ → 1 ≠ +∞)
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . 8 1 ≠ +∞
20 df-ne 2933 . . . . . . . . 9 (1 ≠ +∞ ↔ ¬ 1 = +∞)
21 pm2.21 120 . . . . . . . . 9 (¬ 1 = +∞ → (1 = +∞ → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎}))
2220, 21sylbi 207 . . . . . . . 8 (1 ≠ +∞ → (1 = +∞ → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎}))
2319, 22ax-mp 5 . . . . . . 7 (1 = +∞ → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎})
2423eqcoms 2768 . . . . . 6 (+∞ = 1 → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎})
2516, 24syl6bi 243 . . . . 5 ((♯‘𝑉) = +∞ → ((♯‘𝑉) = 1 → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎}))
2615, 25syl 17 . . . 4 ((𝑉𝑊 ∧ ¬ 𝑉 ∈ Fin) → ((♯‘𝑉) = 1 → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎}))
2726expcom 450 . . 3 𝑉 ∈ Fin → (𝑉𝑊 → ((♯‘𝑉) = 1 → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎})))
2814, 27pm2.61i 176 . 2 (𝑉𝑊 → ((♯‘𝑉) = 1 → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎}))
29 fveq2 6352 . . . 4 (𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) = (♯‘{𝑎}))
30 vex 3343 . . . . 5 𝑎 ∈ V
31 hashsng 13351 . . . . 5 (𝑎 ∈ V → (♯‘{𝑎}) = 1)
3230, 31ax-mp 5 . . . 4 (♯‘{𝑎}) = 1
3329, 32syl6eq 2810 . . 3 (𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) = 1)
3433exlimiv 2007 . 2 (∃𝑎 𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) = 1)
3528, 34impbid1 215 1 (𝑉𝑊 → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑎 𝑉 = {𝑎}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632  ∃wex 1853   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  Vcvv 3340  {csn 4321   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  ωcom 7230  1𝑜c1o 7722   ≈ cen 8118  Fincfn 8121  ℝcr 10127  1c1 10129  +∞cpnf 10263  ♯chash 13311 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-hash 13312 This theorem is referenced by:  hash1n0  13401  hashle2pr  13451  hashge2el2difr  13455  hash1to3  13465  cshwrepswhash1  16011  mat1scmat  20547  tgldim0eq  25597  lfuhgr1v0e  26345  usgr1v0e  26417  nbgr1vtx  26453  uvtx01vtx  26500  uvtxa01vtx0OLD  26502  cplgr1vlem  26535  cplgr1v  26536  1loopgrvd2  26609  vdgn1frgrv2  27450  frgrwopreg1  27472  frgrwopreg2  27473  c0snmgmhm  42424
 Copyright terms: Public domain W3C validator