MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hash0 13196
Description: The empty set has size zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
hash0 (#‘∅) = 0

Proof of Theorem hash0
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . 2 ∅ = ∅
2 0ex 4823 . . 3 ∅ ∈ V
3 hasheq0 13192 . . 3 (∅ ∈ V → ((#‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅))
42, 3ax-mp 5 . 2 ((#‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅)
51, 4mpbir 221 1 (#‘∅) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  c0 3948  cfv 5926  0cc0 9974  #chash 13157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-hash 13158
This theorem is referenced by:  hashrabrsn  13199  hashrabsn01  13200  hashrabsn1  13201  hashge0  13214  elprchashprn2  13222  hash1  13230  hashsn01  13242  hashgt12el  13248  hashgt12el2  13249  hashfzo  13254  hashfzp1  13256  hashxplem  13258  hashmap  13260  hashbc  13275  hashf1lem2  13278  hashf1  13279  hash2pwpr  13296  lsw0g  13386  ccatlid  13404  ccatrid  13405  s1nzOLD  13424  rev0  13559  repswsymballbi  13573  fsumconst  14566  incexclem  14612  incexc  14613  fprodconst  14752  sumodd  15158  hashgcdeq  15541  prmreclem4  15670  prmreclem5  15671  0hashbc  15758  ramz2  15775  cshws0  15855  psgnunilem2  17961  psgnunilem4  17963  psgn0fv0  17977  psgnsn  17986  psgnprfval1  17988  efginvrel2  18186  efgredleme  18202  efgcpbllemb  18214  frgpnabllem1  18322  gsumconst  18380  ltbwe  19520  fta1g  23972  fta1  24108  birthdaylem3  24725  ppi1  24935  musum  24962  rpvmasum  25260  umgrislfupgrlem  26062  lfuhgr1v0e  26191  vtxdg0e  26426  vtxdlfgrval  26437  rusgr1vtxlem  26539  wspn0  26889  rusgrnumwwlkl1  26935  rusgr0edg  26940  clwwlknonel  27070  clwwlknon1le1  27076  0ewlk  27092  0wlk  27094  0wlkon  27098  0pth  27103  0clwlk  27108  0crct  27111  0cycl  27112  eupth0  27192  eulerpathpr  27218  f1ocnt  29687  esumcst  30253  cntmeas  30417  ballotlemfval0  30685  signsvtn0  30775  signstfvneq0  30777  signstfveq0  30782  signsvf0  30785  derangsn  31278  subfacp1lem6  31293  poimirlem25  33564  poimirlem26  33565  poimirlem27  33566  poimirlem28  33567  rp-isfinite6  38181  fzisoeu  39828
  Copyright terms: Public domain W3C validator