Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hartogslem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hartogslem2 8564
 Description: Lemma for hartogs 8565. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
hartogslem.2 𝐹 = {⟨𝑟, 𝑦⟩ ∣ (((dom 𝑟𝐴 ∧ ( I ↾ dom 𝑟) ⊆ 𝑟𝑟 ⊆ (dom 𝑟 × dom 𝑟)) ∧ (𝑟 ∖ I ) We dom 𝑟) ∧ 𝑦 = dom OrdIso((𝑟 ∖ I ), dom 𝑟))}
hartogslem.3 𝑅 = {⟨𝑠, 𝑡⟩ ∣ ∃𝑤𝑦𝑧𝑦 ((𝑠 = (𝑓𝑤) ∧ 𝑡 = (𝑓𝑧)) ∧ 𝑤 E 𝑧)}
Assertion
Ref Expression
hartogslem2 (𝐴𝑉 → {𝑥 ∈ On ∣ 𝑥𝐴} ∈ V)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑠,𝑡,𝑤,𝑦,𝑧   𝑓,𝑟,𝑥,𝐴,𝑦   𝑅,𝑟,𝑥   𝑉,𝑟,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧,𝑤,𝑡,𝑠)   𝑅(𝑦,𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑠)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑠,𝑟)   𝑉(𝑥,𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem hartogslem2
StepHypRef Expression
1 hartogslem.2 . . . 4 𝐹 = {⟨𝑟, 𝑦⟩ ∣ (((dom 𝑟𝐴 ∧ ( I ↾ dom 𝑟) ⊆ 𝑟𝑟 ⊆ (dom 𝑟 × dom 𝑟)) ∧ (𝑟 ∖ I ) We dom 𝑟) ∧ 𝑦 = dom OrdIso((𝑟 ∖ I ), dom 𝑟))}
2 hartogslem.3 . . . 4 𝑅 = {⟨𝑠, 𝑡⟩ ∣ ∃𝑤𝑦𝑧𝑦 ((𝑠 = (𝑓𝑤) ∧ 𝑡 = (𝑓𝑧)) ∧ 𝑤 E 𝑧)}
31, 2hartogslem1 8563 . . 3 (dom 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ∧ Fun 𝐹 ∧ (𝐴𝑉 → ran 𝐹 = {𝑥 ∈ On ∣ 𝑥𝐴}))
43simp3i 1133 . 2 (𝐴𝑉 → ran 𝐹 = {𝑥 ∈ On ∣ 𝑥𝐴})
53simp2i 1132 . . . 4 Fun 𝐹
63simp1i 1131 . . . . 5 dom 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝐴 × 𝐴)
7 sqxpexg 7080 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
8 pwexg 4955 . . . . . 6 ((𝐴 × 𝐴) ∈ V → 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
97, 8syl 17 . . . . 5 (𝐴𝑉 → 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
10 ssexg 4912 . . . . 5 ((dom 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ∧ 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ∈ V) → dom 𝐹 ∈ V)
116, 9, 10sylancr 698 . . . 4 (𝐴𝑉 → dom 𝐹 ∈ V)
12 funex 6598 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
135, 11, 12sylancr 698 . . 3 (𝐴𝑉𝐹 ∈ V)
14 rnexg 7215 . . 3 (𝐹 ∈ V → ran 𝐹 ∈ V)
1513, 14syl 17 . 2 (𝐴𝑉 → ran 𝐹 ∈ V)
164, 15eqeltrrd 2804 1 (𝐴𝑉 → {𝑥 ∈ On ∣ 𝑥𝐴} ∈ V)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1596   ∈ wcel 2103  ∃wrex 3015  {crab 3018  Vcvv 3304   ∖ cdif 3677   ⊆ wss 3680  𝒫 cpw 4266   class class class wbr 4760  {copab 4820   I cid 5127   E cep 5132   We wwe 5176   × cxp 5216  dom cdm 5218  ran crn 5219   ↾ cres 5220  Oncon0 5836  Fun wfun 5995  ‘cfv 6001   ≼ cdom 8070  OrdIsocoi 8530 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-en 8073  df-dom 8074  df-oi 8531 This theorem is referenced by:  hartogs  8565
 Copyright terms: Public domain W3C validator