Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hargch Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hargch 9697
 Description: If 𝐴 + ≈ 𝒫 𝐴, then 𝐴 is a GCH-set. The much simpler converse to gchhar 9703. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
hargch ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴𝐴 ∈ GCH)

Proof of Theorem hargch
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 harcl 8622 . . . . . . . . . . . . . 14 (har‘𝐴) ∈ On
2 sdomdom 8137 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → 𝑥 ≼ (har‘𝐴))
3 ondomen 9060 . . . . . . . . . . . . . 14 (((har‘𝐴) ∈ On ∧ 𝑥 ≼ (har‘𝐴)) → 𝑥 ∈ dom card)
41, 2, 3sylancr 575 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → 𝑥 ∈ dom card)
5 onenon 8975 . . . . . . . . . . . . . 14 ((har‘𝐴) ∈ On → (har‘𝐴) ∈ dom card)
61, 5ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (har‘𝐴) ∈ dom card
7 cardsdom2 9014 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ dom card ∧ (har‘𝐴) ∈ dom card) → ((card‘𝑥) ∈ (card‘(har‘𝐴)) ↔ 𝑥 ≺ (har‘𝐴)))
84, 6, 7sylancl 574 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → ((card‘𝑥) ∈ (card‘(har‘𝐴)) ↔ 𝑥 ≺ (har‘𝐴)))
98ibir 257 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → (card‘𝑥) ∈ (card‘(har‘𝐴)))
10 harcard 9004 . . . . . . . . . . 11 (card‘(har‘𝐴)) = (har‘𝐴)
119, 10syl6eleq 2860 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → (card‘𝑥) ∈ (har‘𝐴))
12 elharval 8624 . . . . . . . . . . 11 ((card‘𝑥) ∈ (har‘𝐴) ↔ ((card‘𝑥) ∈ On ∧ (card‘𝑥) ≼ 𝐴))
1312simprbi 484 . . . . . . . . . 10 ((card‘𝑥) ∈ (har‘𝐴) → (card‘𝑥) ≼ 𝐴)
1411, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → (card‘𝑥) ≼ 𝐴)
15 cardid2 8979 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ dom card → (card‘𝑥) ≈ 𝑥)
16 domen1 8258 . . . . . . . . . 10 ((card‘𝑥) ≈ 𝑥 → ((card‘𝑥) ≼ 𝐴𝑥𝐴))
174, 15, 163syl 18 . . . . . . . . 9 (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → ((card‘𝑥) ≼ 𝐴𝑥𝐴))
1814, 17mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → 𝑥𝐴)
19 domnsym 8242 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴 → ¬ 𝐴𝑥)
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → ¬ 𝐴𝑥)
2120con2i 136 . . . . . 6 (𝐴𝑥 → ¬ 𝑥 ≺ (har‘𝐴))
22 sdomen2 8261 . . . . . . 7 ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → (𝑥 ≺ (har‘𝐴) ↔ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))
2322notbid 307 . . . . . 6 ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → (¬ 𝑥 ≺ (har‘𝐴) ↔ ¬ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))
2421, 23syl5ib 234 . . . . 5 ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → (𝐴𝑥 → ¬ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))
25 imnan 386 . . . . 5 ((𝐴𝑥 → ¬ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴) ↔ ¬ (𝐴𝑥𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))
2624, 25sylib 208 . . . 4 ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → ¬ (𝐴𝑥𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))
2726alrimiv 2007 . . 3 ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → ∀𝑥 ¬ (𝐴𝑥𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))
2827olcd 863 . 2 ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐴𝑥𝑥 ≺ 𝒫 𝐴)))
29 relen 8114 . . . . 5 Rel ≈
3029brrelex2i 5299 . . . 4 ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
31 pwexb 7122 . . . 4 (𝐴 ∈ V ↔ 𝒫 𝐴 ∈ V)
3230, 31sylibr 224 . . 3 ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴𝐴 ∈ V)
33 elgch 9646 . . 3 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ GCH ↔ (𝐴 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐴𝑥𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))))
3432, 33syl 17 . 2 ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → (𝐴 ∈ GCH ↔ (𝐴 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐴𝑥𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))))
3528, 34mpbird 247 1 ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴𝐴 ∈ GCH)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∨ wo 836  ∀wal 1629   ∈ wcel 2145  Vcvv 3351  𝒫 cpw 4297   class class class wbr 4786  dom cdm 5249  Oncon0 5866  ‘cfv 6031   ≈ cen 8106   ≼ cdom 8107   ≺ csdm 8108  Fincfn 8109  harchar 8617  cardccrd 8961  GCHcgch 9644 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-oi 8571  df-har 8619  df-card 8965  df-gch 9645 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator