MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  halfcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem halfcld 11469
Description: Closure of half of a number (frequently used special case). (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
2timesd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
halfcld (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem halfcld
StepHypRef Expression
1 2timesd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 halfcl 11449 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2139  (class class class)co 6813  cc 10126   / cdiv 10876  2c2 11262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-2 11271
This theorem is referenced by:  xp1d2m1eqxm1d2  11478  zeo  11655  zesq  13181  faclbnd2  13272  crre  14053  ef4p  15042  cosf  15054  efi4p  15066  sinhval  15083  addsin  15099  zob  15285  nn0ob  15302  flodddiv4t2lthalf  15342  4sqlem10  15853  lhop1lem  23975  chordthmlem  24758  chordthmlem2  24759  chordthmlem3  24760  chordthmlem4  24761  chordthmlem5  24762  dcubic2  24770  dcubic1  24771  dcubic  24772  mcubic  24773  cubic  24775  dquartlem1  24777  dquart  24779  quart1cl  24780  quart1lem  24781  quart1  24782  quartlem3  24785  quartlem4  24786  quart  24787  lgsquad2lem2  25309  lgsquad2  25310  logdivsum  25421  mulog2sumlem2  25423  mulog2sumlem3  25424  vmalogdivsum2  25426  selberg34r  25459  pntlemr  25490  lt2addrd  29825  logdivsqrle  31037  sin2h  33712  cos2h  33713  tan2h  33714  itg2addnclem  33774  oddfl  39988  suplesup  40053  coseq0  40578  sinaover2ne0  40582  wallispilem4  40788  wallispi  40790  stirlinglem1  40794  stirlinglem4  40797  stirlinglem7  40800  stirlinglem15  40808  dirker2re  40812  dirkerdenne0  40813  dirkerper  40816  dirkertrigeqlem2  40819  dirkertrigeqlem3  40820  dirkeritg  40822  dirkercncflem1  40823  dirkercncflem2  40824  dirkercncflem4  40826  fourierdlem43  40870  fourierdlem44  40871  fourierdlem56  40882  fourierdlem58  40884  fourierdlem62  40888  fourierdlem68  40894  fourierdlem72  40898  fourierdlem76  40902  fourierdlem79  40905  fourierdlem80  40906  fourierdlem103  40929  fourierdlem104  40930  fourierdlem112  40938  dignn0flhalflem1  42919
  Copyright terms: Public domain W3C validator