MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  halfaddsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem halfaddsub 11478
Description: Sum and difference of half-sum and half-difference. (Contributed by Paul Chapman, 12-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
halfaddsub ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2)) = 𝐴 ∧ (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2)) = 𝐵))

Proof of Theorem halfaddsub
StepHypRef Expression
1 ppncan 10536 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) = (𝐴 + 𝐴))
213anidm13 1531 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) = (𝐴 + 𝐴))
3 2times 11358 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
43adantr 472 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
52, 4eqtr4d 2798 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) = (2 · 𝐴))
65oveq1d 6830 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) / 2) = ((2 · 𝐴) / 2))
7 addcl 10231 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
8 subcl 10493 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
9 2cnne0 11455 . . . . 5 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
10 divdir 10923 . . . . 5 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((𝐴 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) / 2) = (((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2)))
119, 10mp3an3 1562 . . . 4 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) / 2) = (((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2)))
127, 8, 11syl2anc 696 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) / 2) = (((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2)))
13 2cn 11304 . . . . 5 2 ∈ ℂ
14 2ne0 11326 . . . . 5 2 ≠ 0
15 divcan3 10924 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
1613, 14, 15mp3an23 1565 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
1716adantr 472 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
186, 12, 173eqtr3d 2803 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2)) = 𝐴)
19 pnncan 10535 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵)) = (𝐵 + 𝐵))
20193anidm23 1532 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵)) = (𝐵 + 𝐵))
21 2times 11358 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
2221adantl 473 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
2320, 22eqtr4d 2798 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵)) = (2 · 𝐵))
2423oveq1d 6830 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵)) / 2) = ((2 · 𝐵) / 2))
25 divsubdir 10934 . . . . 5 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵)) / 2) = (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2)))
269, 25mp3an3 1562 . . . 4 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵)) / 2) = (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2)))
277, 8, 26syl2anc 696 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵)) / 2) = (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2)))
28 divcan3 10924 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · 𝐵) / 2) = 𝐵)
2913, 14, 28mp3an23 1565 . . . 4 (𝐵 ∈ ℂ → ((2 · 𝐵) / 2) = 𝐵)
3029adantl 473 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 · 𝐵) / 2) = 𝐵)
3124, 27, 303eqtr3d 2803 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2)) = 𝐵)
3218, 31jca 555 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2)) = 𝐴 ∧ (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2)) = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140  wne 2933  (class class class)co 6815  cc 10147  0cc0 10149   + caddc 10152   · cmul 10154  cmin 10479   / cdiv 10897  2c2 11283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-po 5188  df-so 5189  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-2 11292
This theorem is referenced by:  addsin  15120  subsin  15121  addcos  15124  subcos  15125  ioo2bl  22818  dcubic  24794  fourierdlem79  40924
  Copyright terms: Public domain W3C validator