HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h1de2bi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem h1de2bi 28722
Description: Membership in 1-dimensional subspace. All members are collinear with the generating vector. (Contributed by NM, 19-Jul-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
h1de2.1 𝐴 ∈ ℋ
h1de2.2 𝐵 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
h1de2bi (𝐵 ≠ 0 → (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ 𝐴 = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵)))

Proof of Theorem h1de2bi
StepHypRef Expression
1 h1de2.2 . . . 4 𝐵 ∈ ℋ
2 his6 28265 . . . 4 (𝐵 ∈ ℋ → ((𝐵 ·ih 𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = 0))
31, 2ax-mp 5 . . 3 ((𝐵 ·ih 𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = 0)
43necon3bii 2984 . 2 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ 0)
5 h1de2.1 . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ ℋ
65, 1h1de2i 28721 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))
76adantl 473 . . . . . . 7 (((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))) → ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))
87oveq2d 6829 . . . . . 6 (((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))) → ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴)) = ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)))
91, 1hicli 28247 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℂ
109recclzi 10942 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → (1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ)
11 ax-hvmulass 28173 . . . . . . . . . . 11 (((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐴) = ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴)))
129, 5, 11mp3an23 1565 . . . . . . . . . 10 ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ → (((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐴) = ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴)))
1310, 12syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → (((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐴) = ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴)))
14 ax-1cn 10186 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
1514, 9divcan1zi 10953 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · (𝐵 ·ih 𝐵)) = 1)
1615oveq1d 6828 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → (((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
1713, 16eqtr3d 2796 . . . . . . . 8 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴)) = (1 · 𝐴))
18 ax-hvmulid 28172 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℋ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
195, 18ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1 · 𝐴) = 𝐴
2017, 19syl6eq 2810 . . . . . . 7 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴)) = 𝐴)
2120adantr 472 . . . . . 6 (((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))) → ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴)) = 𝐴)
228, 21eqtr3d 2796 . . . . 5 (((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))) → ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) = 𝐴)
235, 1hicli 28247 . . . . . . . . 9 (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ
24 ax-hvmulass 28173 . . . . . . . . 9 (((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · (𝐴 ·ih 𝐵)) · 𝐵) = ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)))
2523, 1, 24mp3an23 1565 . . . . . . . 8 ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ → (((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · (𝐴 ·ih 𝐵)) · 𝐵) = ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)))
2610, 25syl 17 . . . . . . 7 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → (((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · (𝐴 ·ih 𝐵)) · 𝐵) = ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)))
27 mulcom 10214 . . . . . . . . . 10 (((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ) → ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · (1 / (𝐵 ·ih 𝐵))))
2810, 23, 27sylancl 697 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · (1 / (𝐵 ·ih 𝐵))))
2923, 9divreczi 10955 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → ((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · (1 / (𝐵 ·ih 𝐵))))
3028, 29eqtr4d 2797 . . . . . . . 8 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = ((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)))
3130oveq1d 6828 . . . . . . 7 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → (((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · (𝐴 ·ih 𝐵)) · 𝐵) = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵))
3226, 31eqtr3d 2796 . . . . . 6 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵))
3332adantr 472 . . . . 5 (((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))) → ((1 / (𝐵 ·ih 𝐵)) · ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵))
3422, 33eqtr3d 2796 . . . 4 (((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))) → 𝐴 = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵))
3534ex 449 . . 3 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → 𝐴 = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵)))
3623, 9divclzi 10952 . . . . 5 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → ((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ)
371elexi 3353 . . . . . . . . . . 11 𝐵 ∈ V
3837snss 4460 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℋ ↔ {𝐵} ⊆ ℋ)
391, 38mpbi 220 . . . . . . . . 9 {𝐵} ⊆ ℋ
40 occl 28472 . . . . . . . . 9 ({𝐵} ⊆ ℋ → (⊥‘{𝐵}) ∈ C )
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . 8 (⊥‘{𝐵}) ∈ C
4241choccli 28475 . . . . . . 7 (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∈ C
4342chshii 28393 . . . . . 6 (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∈ S
44 h1did 28719 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℋ → 𝐵 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})))
451, 44ax-mp 5 . . . . . 6 𝐵 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))
46 shmulcl 28384 . . . . . 6 (((⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∈ S ∧ ((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))) → (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵) ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})))
4743, 45, 46mp3an13 1564 . . . . 5 (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ → (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵) ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})))
4836, 47syl 17 . . . 4 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵) ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})))
49 eleq1 2827 . . . 4 (𝐴 = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵) → (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵) ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))))
5048, 49syl5ibrcom 237 . . 3 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → (𝐴 = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵) → 𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))))
5135, 50impbid 202 . 2 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ 𝐴 = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵)))
524, 51sylbir 225 1 (𝐵 ≠ 0 → (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ 𝐴 = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wss 3715  {csn 4321  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  0cc0 10128  1c1 10129   · cmul 10133   / cdiv 10876  chil 28085   · csm 28087   ·ih csp 28088  0c0v 28090   S csh 28094   C cch 28095  cort 28096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208  ax-hilex 28165  ax-hfvadd 28166  ax-hvcom 28167  ax-hvass 28168  ax-hv0cl 28169  ax-hvaddid 28170  ax-hfvmul 28171  ax-hvmulid 28172  ax-hvmulass 28173  ax-hvdistr1 28174  ax-hvdistr2 28175  ax-hvmul0 28176  ax-hfi 28245  ax-his1 28248  ax-his2 28249  ax-his3 28250  ax-his4 28251  ax-hcompl 28368
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-sum 14616  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-lm 21235  df-haus 21321  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-cau 23254  df-grpo 27656  df-gid 27657  df-ginv 27658  df-gdiv 27659  df-ablo 27708  df-vc 27723  df-nv 27756  df-va 27759  df-ba 27760  df-sm 27761  df-0v 27762  df-vs 27763  df-nmcv 27764  df-ims 27765  df-dip 27865  df-hnorm 28134  df-hvsub 28137  df-hlim 28138  df-hcau 28139  df-sh 28373  df-ch 28387  df-oc 28418
This theorem is referenced by:  h1de2ctlem  28723  elspansn2  28735
  Copyright terms: Public domain W3C validator