Theorem h0elch 28342

Description: The zero subspace is a closed subspace. Part of Proposition 1 of [Kalmbach] p. 65. (Contributed by NM, 30-May-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
h0elch	⊢ 0ℋ ∈ Cℋ

Proof of Theorem h0elch

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ch0 28340	. 2 ⊢ 0ℋ = {0ℎ}
2		hsn0elch 28335	. 2 ⊢ {0ℎ} ∈ Cℋ
3	1, 2	eqeltri 2799	1 ⊢ 0ℋ ∈ Cℋ

Syntax hints:   ∈ wcel 2103  {csn 4285  0_ℎc0v 28011   C_ℋ cch 28016  0_ℋc0h 28022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127  ax-addf 10128  ax-mulf 10129  ax-hilex 28086  ax-hfvadd 28087  ax-hvcom 28088  ax-hvass 28089  ax-hv0cl 28090  ax-hvaddid 28091  ax-hfvmul 28092  ax-hvmulid 28093  ax-hvmulass 28094  ax-hvdistr1 28095  ax-hvdistr2 28096  ax-hvmul0 28097  ax-hfi 28166  ax-his1 28169  ax-his2 28170  ax-his3 28171  ax-his4 28172

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-map 7976  df-pm 7977  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-sup 8464  df-inf 8465  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-q 11903  df-rp 11947  df-xneg 12060  df-xadd 12061  df-xmul 12062  df-icc 12296  df-seq 12917  df-exp 12976  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-topgen 16227  df-psmet 19861  df-xmet 19862  df-met 19863  df-bl 19864  df-mopn 19865  df-top 20822  df-topon 20839  df-bases 20873  df-lm 21156  df-haus 21242  df-grpo 27577  df-gid 27578  df-ginv 27579  df-gdiv 27580  df-ablo 27629  df-vc 27644  df-nv 27677  df-va 27680  df-ba 27681  df-sm 27682  df-0v 27683  df-vs 27684  df-nmcv 27685  df-ims 27686  df-hnorm 28055  df-hvsub 28058  df-hlim 28059  df-sh 28294  df-ch 28308  df-ch0 28340

This theorem is referenced by:  h0elsh  28343  chintcl  28421  omlsi  28493  pjoml  28525  pjoc2  28528  chj0i  28544  chj00i  28576  chm0  28580  chne0  28583  chocin  28584  chj0  28586  chlejb1  28601  chnle  28603  ledi  28629  chsup0  28637  h1datom  28671  cmbr3  28697  cm0  28698  pjoml2  28700  cmcm  28703  cmcm3  28704  lecm  28706  qlaxr3i  28725  nonbooli  28740  pjige0  28780  pjhfo  28795  pj11  28803  ho0f  28840  pjhmop  29239  pjidmco  29270  hst0  29322  largei  29356  mdslmd1lem3  29416  mdslmd1lem4  29417  csmdsymi  29423  elat2  29429  atcveq0  29437  hatomic  29449  atcv0eq  29468  atoml2i  29472  atordi  29473  atord  29477  atcvat2  29478  chirred  29484