Theorem gtneii 10361

Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
gtneii	⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

Proof of Theorem gtneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3		ltne 10346	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	mp2an 710	1 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

Syntax hints:   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932   class class class wbr 4804  ℝcr 10147   < clt 10286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-ltxr 10291

This theorem is referenced by:  ltneii  10362  fztpval  12615  geo2sum  14823  bpoly4  15009  ene1  15157  3dvds  15274  3dvdsOLD  15275  3lcm2e6  15662  resslem  16155  rescco  16713  oppgtset  18002  mgpsca  18716  mgptset  18717  mgpds  18719  cnfldfun  19980  psgnodpmr  20158  matsca  20443  matvsca  20444  tuslem  22292  setsmsds  22502  tngds  22673  logbrec  24740  log2le1  24897  2lgsoddprmlem3a  25355  2lgsoddprmlem3b  25356  2lgsoddprmlem3c  25357  2lgsoddprmlem3d  25358  konigsberglem2  27426  ex-dif  27612  ex-in  27614  ex-pss  27617  ex-res  27630  dp20u  29915  dp20h  29916  dp2clq  29918  dp2lt10  29921  dp2lt  29922  dplti  29943  dpexpp1  29946  oppgle  29983  resvvsca  30164  zlmds  30338  zlmtset  30339  ballotlemi1  30894  sgnnbi  30937  sgnpbi  30938  signswch  30968  itgexpif  31014  hgt750lemd  31056  hgt750lem  31059  fdc  33872  areaquad  38322  stirlinglem4  40815  stirlinglem13  40824  stirlinglem14  40825  stirlingr  40828  dirker2re  40830  dirkerdenne0  40831  dirkerre  40833  dirkertrigeqlem1  40836  dirkercncflem2  40842  dirkercncflem4  40844  fourierdlem16  40861  fourierdlem21  40866  fourierdlem22  40867  fourierdlem66  40910  fourierdlem83  40927  fourierdlem103  40947  fourierdlem104  40948  sqwvfoura  40966  sqwvfourb  40967  fourierswlem  40968  fouriersw  40969  etransclem46  41018  fmtnoprmfac2lem1  42006  zlmodzxzldeplem  42815