Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gtinfOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gtinfOLD 32645
Description: Any number greater than an infimum is greater than some element of the set. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Sep-2013.) Obsolete version of gtinf 32644 as of 10-Oct-2021. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
gtinfOLD (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) < 𝐴)) → ∃𝑧𝑆 𝑧 < 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑥,𝑦,𝑧,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem gtinfOLD
StepHypRef Expression
1 simprl 746 . . 3 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) < 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2 gtso 10320 . . . . . . 7 < Or ℝ
32supex 8524 . . . . . 6 sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ V
4 brcnvg 5441 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ V) → (𝐴 < sup(𝑆, ℝ, < ) ↔ sup(𝑆, ℝ, < ) < 𝐴))
53, 4mpan2 663 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < sup(𝑆, ℝ, < ) ↔ sup(𝑆, ℝ, < ) < 𝐴))
65biimpar 463 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) < 𝐴) → 𝐴 < sup(𝑆, ℝ, < ))
76adantl 467 . . 3 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) < 𝐴)) → 𝐴 < sup(𝑆, ℝ, < ))
82a1i 11 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) < 𝐴)) → < Or ℝ)
9 infm3 11183 . . . . . 6 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑥𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝑆 𝑧 < 𝑦)))
10 vex 3352 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ V
11 vex 3352 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ V
1210, 11brcnv 5443 . . . . . . . . . 10 (𝑥 < 𝑦𝑦 < 𝑥)
1312notbii 309 . . . . . . . . 9 𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑥)
1413ralbii 3128 . . . . . . . 8 (∀𝑦𝑆 ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥)
1511, 10brcnv 5443 . . . . . . . . . 10 (𝑦 < 𝑥𝑥 < 𝑦)
16 vex 3352 . . . . . . . . . . . 12 𝑧 ∈ V
1711, 16brcnv 5443 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 < 𝑧𝑧 < 𝑦)
1817rexbii 3188 . . . . . . . . . 10 (∃𝑧𝑆 𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑧𝑆 𝑧 < 𝑦)
1915, 18imbi12i 339 . . . . . . . . 9 ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝑆 𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝑆 𝑧 < 𝑦))
2019ralbii 3128 . . . . . . . 8 (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝑆 𝑦 < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝑆 𝑧 < 𝑦))
2114, 20anbi12i 604 . . . . . . 7 ((∀𝑦𝑆 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝑆 𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝑆 𝑧 < 𝑦)))
2221rexbii 3188 . . . . . 6 (∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝑆 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝑆 𝑦 < 𝑧)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝑆 𝑧 < 𝑦)))
239, 22sylibr 224 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑥𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝑆 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝑆 𝑦 < 𝑧)))
2423adantr 466 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) < 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝑆 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝑆 𝑦 < 𝑧)))
258, 24suplub 8521 . . 3 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) < 𝐴)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < sup(𝑆, ℝ, < )) → ∃𝑧𝑆 𝐴 < 𝑧))
261, 7, 25mp2and 671 . 2 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) < 𝐴)) → ∃𝑧𝑆 𝐴 < 𝑧)
27 brcnvg 5441 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ V) → (𝐴 < 𝑧𝑧 < 𝐴))
2816, 27mpan2 663 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 𝑧𝑧 < 𝐴))
2928rexbidv 3199 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑧𝑆 𝐴 < 𝑧 ↔ ∃𝑧𝑆 𝑧 < 𝐴))
3029ad2antrl 699 . 2 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) < 𝐴)) → (∃𝑧𝑆 𝐴 < 𝑧 ↔ ∃𝑧𝑆 𝑧 < 𝐴))
3126, 30mpbid 222 1 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) < 𝐴)) → ∃𝑧𝑆 𝑧 < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1070  wcel 2144  wne 2942  wral 3060  wrex 3061  Vcvv 3349  wss 3721  c0 4061   class class class wbr 4784   Or wor 5169  ccnv 5248  supcsup 8501  cr 10136   < clt 10275  cle 10276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-sup 8503  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator