Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gtinf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gtinf 32650
Description: Any number greater than an infimum is greater than some element of the set. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Sep-2013.) (Revised by AV, 10-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
gtinf (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ inf(𝑆, ℝ, < ) < 𝐴)) → ∃𝑧𝑆 𝑧 < 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑥,𝑦,𝑧,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem gtinf
StepHypRef Expression
1 simprl 754 . 2 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ inf(𝑆, ℝ, < ) < 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2 simprr 756 . 2 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ inf(𝑆, ℝ, < ) < 𝐴)) → inf(𝑆, ℝ, < ) < 𝐴)
3 ltso 10320 . . . 4 < Or ℝ
43a1i 11 . . 3 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ inf(𝑆, ℝ, < ) < 𝐴)) → < Or ℝ)
5 infm3 11184 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑥𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝑆 𝑧 < 𝑦)))
65adantr 466 . . 3 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ inf(𝑆, ℝ, < ) < 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝑆 𝑧 < 𝑦)))
74, 6infglb 8552 . 2 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ inf(𝑆, ℝ, < ) < 𝐴)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ inf(𝑆, ℝ, < ) < 𝐴) → ∃𝑧𝑆 𝑧 < 𝐴))
81, 2, 7mp2and 679 1 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ inf(𝑆, ℝ, < ) < 𝐴)) → ∃𝑧𝑆 𝑧 < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  w3a 1071  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  wrex 3062  wss 3723  c0 4063   class class class wbr 4786   Or wor 5169  infcinf 8503  cr 10137   < clt 10276  cle 10277
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator