MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gt0ne0ii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gt0ne0ii 10756
Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 15-May-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
lt2.1 𝐴 ∈ ℝ
gt0ne0i.2 0 < 𝐴
Assertion
Ref Expression
gt0ne0ii 𝐴 ≠ 0

Proof of Theorem gt0ne0ii
StepHypRef Expression
1 gt0ne0i.2 . 2 0 < 𝐴
2 lt2.1 . . 3 𝐴 ∈ ℝ
32gt0ne0i 10755 . 2 (0 < 𝐴𝐴 ≠ 0)
41, 3ax-mp 5 1 𝐴 ≠ 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2139  wne 2932   class class class wbr 4804  cr 10127  0cc0 10128   < clt 10266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-ltxr 10271
This theorem is referenced by:  eqneg  10937  recgt0ii  11121  nnne0i  11247  2ne0  11305  3ne0  11307  4ne0  11309  8th4div3  11444  halfpm6th  11445  5recm6rec  11878  0.999...  14811  0.999...OLD  14812  bpoly2  14987  bpoly3  14988  fsumcube  14990  efi4p  15066  resin4p  15067  recos4p  15068  ef01bndlem  15113  cos2bnd  15117  sincos2sgn  15123  ene0  15136  sinhalfpilem  24414  sincos6thpi  24466  sineq0  24472  coseq1  24473  efeq1  24474  cosne0  24475  efif1olem2  24488  efif1olem4  24490  eflogeq  24547  logf1o2  24595  ecxp  24618  cxpsqrt  24648  root1eq1  24695  ang180lem1  24738  ang180lem2  24739  ang180lem3  24740  2lgsoddprmlem1  25332  2lgsoddprmlem2  25333  chebbnd1lem3  25359  chebbnd1  25360  dp2cl  29896  dp2ltc  29903  dpfrac1  29908  dpfrac1OLD  29909  dpmul4  29931  subfaclim  31477  bj-pinftynminfty  33425  taupilem1  33478  proot1ex  38281  coseq0  40578  sinaover2ne0  40582  wallispi  40790  stirlinglem3  40796  stirlinglem15  40808  dirkertrigeqlem2  40819  dirkertrigeqlem3  40820  dirkertrigeq  40821  dirkeritg  40822  dirkercncflem1  40823  fourierdlem24  40851  fourierdlem95  40921  fourierswlem  40950
  Copyright terms: Public domain W3C validator