MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gt0ne0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gt0ne0d 10630
Description: Positive implies nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
gt0ne0d.1 (𝜑 → 0 < 𝐴)
Assertion
Ref Expression
gt0ne0d (𝜑𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem gt0ne0d
StepHypRef Expression
1 0re 10078 . 2 0 ∈ ℝ
2 gt0ne0d.1 . 2 (𝜑 → 0 < 𝐴)
3 ltne 10172 . 2 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
41, 2, 3sylancr 696 1 (𝜑𝐴 ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2030  wne 2823   class class class wbr 4685  cr 9973  0cc0 9974   < clt 10112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117
This theorem is referenced by:  recextlem2  10696  prodgt0  10906  ltdiv1  10925  ltmuldiv  10934  ltrec  10943  lerec  10944  lediv12a  10954  recp1lt1  10959  ledivp1  10963  supmul1  11030  rpnnen1lem5  11856  rpnnen1lem5OLD  11862  ltexp2a  12952  leexp2  12955  leexp2a  12956  expnbnd  13033  expmulnbnd  13036  discr1  13040  eqsqrt2d  14152  bpoly4  14834  isabvd  18868  gzrngunit  19860  fvmptnn04ifa  20703  chfacffsupp  20709  chfacfscmul0  20711  chfacfpmmul0  20715  stdbdxmet  22367  evth  22805  itg2monolem3  23564  mvth  23800  dvlip  23801  dvcvx  23828  ftc1lem4  23847  dgradd2  24069  radcnvlem1  24212  pilem2  24251  coseq00topi  24299  tangtx  24302  tanabsge  24303  tanord1  24328  logcnlem4  24436  cxplt  24485  atantan  24695  jensenlem2  24759  jensen  24760  lgamgulmlem2  24801  basellem3  24854  basellem4  24855  basellem8  24859  dchrmusumlema  25227  selberg3lem1  25291  abvcxp  25349  ostth2  25371  axsegconlem8  25849  axsegconlem9  25850  axsegconlem10  25851  axpaschlem  25865  axcontlem2  25890  axcontlem4  25892  axcontlem7  25895  iswwlksnx  26788  wspn0  26889  friendshipgt3  27385  his6  28084  eigrei  28821  xrge0iifcv  30108  sgnmul  30732  sgn0bi  30737  sgnmulsgp  30740  signsvfpn  30790  tgoldbachgtde  30866  tgoldbachgtda  30867  knoppndvlem18  32645  knoppndvlem19  32646  knoppndvlem21  32648  ftc1cnnclem  33613  areacirclem1  33630  irrapxlem2  37704  irrapxlem5  37707  pellexlem2  37711  imo72b2  38792  binomcxplemnotnn0  38872  dvdivbd  40456  dvbdfbdioolem1  40461  ioodvbdlimc1lem1  40464  ioodvbdlimc1lem2  40465  ioodvbdlimc2lem  40467  stoweidlem7  40542  stoweidlem36  40571  wallispilem3  40602  wallispilem4  40603  wallispi2lem1  40606  wallispi2lem2  40607  stirlinglem3  40611  stirlinglem6  40614  stirlinglem7  40615  stirlinglem10  40618  stirlinglem11  40619  stirlinglem12  40620  stirlinglem13  40621  stirlinglem14  40622  stirlinglem15  40623  dirkerval2  40629  dirkeritg  40637  dirkercncflem2  40639  fourierdlem6  40648  fourierdlem7  40649  fourierdlem19  40661  fourierdlem26  40668  fourierdlem30  40672  fourierdlem48  40689  fourierdlem49  40690  fourierdlem51  40692  fourierdlem63  40704  fourierdlem64  40705  fourierdlem71  40712  fourierdlem89  40730  fourierdlem90  40731  fourierdlem91  40732  fourierdlem103  40744  fourierdlem104  40745  fourierdlem112  40753  sqwvfoura  40763  fourierswlem  40765  etransclem4  40773  etransclem31  40800  etransclem32  40801  iccpartgt  41688  rege1logbrege0  42677
  Copyright terms: Public domain W3C validator