MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumzsplit 18373
Description: Split a group sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 5-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzsplit.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumzsplit.0 0 = (0g𝐺)
gsumzsplit.p + = (+g𝐺)
gsumzsplit.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumzsplit.g (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
gsumzsplit.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumzsplit.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
gsumzsplit.c (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
gsumzsplit.w (𝜑𝐹 finSupp 0 )
gsumzsplit.i (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
gsumzsplit.u (𝜑𝐴 = (𝐶𝐷))
Assertion
Ref Expression
gsumzsplit (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝐹𝐶)) + (𝐺 Σg (𝐹𝐷))))

Proof of Theorem gsumzsplit
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumzsplit.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumzsplit.0 . . 3 0 = (0g𝐺)
3 gsumzsplit.p . . 3 + = (+g𝐺)
4 gsumzsplit.z . . 3 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
5 gsumzsplit.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
6 gsumzsplit.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
7 gsumzsplit.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
8 fvex 6239 . . . . . 6 (0g𝐺) ∈ V
92, 8eqeltri 2726 . . . . 5 0 ∈ V
109a1i 11 . . . 4 (𝜑0 ∈ V)
11 gsumzsplit.w . . . 4 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
127, 6, 10, 11fsuppmptif 8346 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), 0 )) finSupp 0 )
137, 6, 10, 11fsuppmptif 8346 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 0 )) finSupp 0 )
141submacs 17412 . . . . 5 (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
15 acsmre 16360 . . . . 5 ((SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵) → (SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
165, 14, 153syl 18 . . . 4 (𝜑 → (SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
17 frn 6091 . . . . 5 (𝐹:𝐴𝐵 → ran 𝐹𝐵)
187, 17syl 17 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐹𝐵)
19 eqid 2651 . . . . 5 (mrCls‘(SubMnd‘𝐺)) = (mrCls‘(SubMnd‘𝐺))
2019mrccl 16318 . . . 4 (((SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ ran 𝐹𝐵) → ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘ran 𝐹) ∈ (SubMnd‘𝐺))
2116, 18, 20syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘ran 𝐹) ∈ (SubMnd‘𝐺))
22 gsumzsplit.c . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
23 eqid 2651 . . . . . 6 (𝐺s ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘ran 𝐹)) = (𝐺s ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘ran 𝐹))
244, 19, 23cntzspan 18293 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹)) → (𝐺s ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘ran 𝐹)) ∈ CMnd)
255, 22, 24syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 → (𝐺s ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘ran 𝐹)) ∈ CMnd)
2623, 4submcmn2 18290 . . . . 5 (((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘ran 𝐹) ∈ (SubMnd‘𝐺) → ((𝐺s ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘ran 𝐹)) ∈ CMnd ↔ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘ran 𝐹) ⊆ (𝑍‘((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘ran 𝐹))))
2721, 26syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺s ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘ran 𝐹)) ∈ CMnd ↔ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘ran 𝐹) ⊆ (𝑍‘((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘ran 𝐹))))
2825, 27mpbid 222 . . 3 (𝜑 → ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘ran 𝐹) ⊆ (𝑍‘((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘ran 𝐹)))
2916, 19, 18mrcssidd 16332 . . . . . . 7 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘ran 𝐹))
3029adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → ran 𝐹 ⊆ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘ran 𝐹))
31 ffn 6083 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴𝐵𝐹 Fn 𝐴)
327, 31syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
33 fnfvelrn 6396 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn 𝐴𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ran 𝐹)
3432, 33sylan 487 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ran 𝐹)
3530, 34sseldd 3637 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘ran 𝐹))
362subm0cl 17399 . . . . . . 7 (((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘ran 𝐹) ∈ (SubMnd‘𝐺) → 0 ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘ran 𝐹))
3721, 36syl 17 . . . . . 6 (𝜑0 ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘ran 𝐹))
3837adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘ran 𝐹))
3935, 38ifcld 4164 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), 0 ) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘ran 𝐹))
40 eqid 2651 . . . 4 (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), 0 )) = (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), 0 ))
4139, 40fmptd 6425 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), 0 )):𝐴⟶((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘ran 𝐹))
4235, 38ifcld 4164 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 0 ) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘ran 𝐹))
43 eqid 2651 . . . 4 (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 0 )) = (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 0 ))
4442, 43fmptd 6425 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 0 )):𝐴⟶((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘ran 𝐹))
451, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 13, 21, 28, 41, 44gsumzadd 18368 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), 0 )) ∘𝑓 + (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 0 )))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), 0 ))) + (𝐺 Σg (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 0 )))))
467feqmptd 6288 . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))
47 iftrue 4125 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝐶 → if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), 0 ) = (𝐹𝑘))
4847adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐶) → if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), 0 ) = (𝐹𝑘))
49 gsumzsplit.i . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
50 noel 3952 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ¬ 𝑘 ∈ ∅
51 eleq2 2719 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶𝐷) = ∅ → (𝑘 ∈ (𝐶𝐷) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
5250, 51mtbiri 316 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶𝐷) = ∅ → ¬ 𝑘 ∈ (𝐶𝐷))
5349, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ¬ 𝑘 ∈ (𝐶𝐷))
5453adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐴) → ¬ 𝑘 ∈ (𝐶𝐷))
55 elin 3829 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (𝐶𝐷) ↔ (𝑘𝐶𝑘𝐷))
5654, 55sylnib 317 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐴) → ¬ (𝑘𝐶𝑘𝐷))
57 imnan 437 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘𝐶 → ¬ 𝑘𝐷) ↔ ¬ (𝑘𝐶𝑘𝐷))
5856, 57sylibr 224 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑘𝐶 → ¬ 𝑘𝐷))
5958imp 444 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐶) → ¬ 𝑘𝐷)
6059iffalsed 4130 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐶) → if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 0 ) = 0 )
6148, 60oveq12d 6708 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐶) → (if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), 0 ) + if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 0 )) = ((𝐹𝑘) + 0 ))
627ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ 𝐵)
631, 3, 2mndrid 17359 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝐹𝑘) + 0 ) = (𝐹𝑘))
645, 63sylan 487 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝐹𝑘) + 0 ) = (𝐹𝑘))
6562, 64syldan 486 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝐹𝑘) + 0 ) = (𝐹𝑘))
6665adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐶) → ((𝐹𝑘) + 0 ) = (𝐹𝑘))
6761, 66eqtrd 2685 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐶) → (if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), 0 ) + if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 0 )) = (𝐹𝑘))
6858con2d 129 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑘𝐷 → ¬ 𝑘𝐶))
6968imp 444 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐷) → ¬ 𝑘𝐶)
7069iffalsed 4130 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐷) → if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), 0 ) = 0 )
71 iftrue 4125 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝐷 → if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 0 ) = (𝐹𝑘))
7271adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐷) → if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 0 ) = (𝐹𝑘))
7370, 72oveq12d 6708 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐷) → (if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), 0 ) + if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 0 )) = ( 0 + (𝐹𝑘)))
741, 3, 2mndlid 17358 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝐵) → ( 0 + (𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘))
755, 74sylan 487 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝐵) → ( 0 + (𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘))
7662, 75syldan 486 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → ( 0 + (𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘))
7776adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐷) → ( 0 + (𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘))
7873, 77eqtrd 2685 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐷) → (if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), 0 ) + if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 0 )) = (𝐹𝑘))
79 gsumzsplit.u . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 = (𝐶𝐷))
8079eleq2d 2716 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘𝐴𝑘 ∈ (𝐶𝐷)))
81 elun 3786 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝐶𝐷) ↔ (𝑘𝐶𝑘𝐷))
8280, 81syl6bb 276 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↔ (𝑘𝐶𝑘𝐷)))
8382biimpa 500 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑘𝐶𝑘𝐷))
8467, 78, 83mpjaodan 844 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), 0 ) + if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 0 )) = (𝐹𝑘))
8584mpteq2dva 4777 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ (if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), 0 ) + if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 0 ))) = (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))
8646, 85eqtr4d 2688 . . . 4 (𝜑𝐹 = (𝑘𝐴 ↦ (if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), 0 ) + if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 0 ))))
871, 2mndidcl 17355 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Mnd → 0𝐵)
885, 87syl 17 . . . . . . 7 (𝜑0𝐵)
8988adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 0𝐵)
9062, 89ifcld 4164 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), 0 ) ∈ 𝐵)
9162, 89ifcld 4164 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 0 ) ∈ 𝐵)
92 eqidd 2652 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), 0 )) = (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), 0 )))
93 eqidd 2652 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 0 )) = (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 0 )))
946, 90, 91, 92, 93offval2 6956 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), 0 )) ∘𝑓 + (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 0 ))) = (𝑘𝐴 ↦ (if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), 0 ) + if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 0 ))))
9586, 94eqtr4d 2688 . . 3 (𝜑𝐹 = ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), 0 )) ∘𝑓 + (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 0 ))))
9695oveq2d 6706 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), 0 )) ∘𝑓 + (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 0 )))))
9746reseq1d 5427 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐶) = ((𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ↾ 𝐶))
98 ssun1 3809 . . . . . . . 8 𝐶 ⊆ (𝐶𝐷)
9998, 79syl5sseqr 3687 . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝐴)
10047mpteq2ia 4773 . . . . . . . 8 (𝑘𝐶 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), 0 )) = (𝑘𝐶 ↦ (𝐹𝑘))
101 resmpt 5484 . . . . . . . 8 (𝐶𝐴 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), 0 )) ↾ 𝐶) = (𝑘𝐶 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), 0 )))
102 resmpt 5484 . . . . . . . 8 (𝐶𝐴 → ((𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ↾ 𝐶) = (𝑘𝐶 ↦ (𝐹𝑘)))
103100, 101, 1023eqtr4a 2711 . . . . . . 7 (𝐶𝐴 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), 0 )) ↾ 𝐶) = ((𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ↾ 𝐶))
10499, 103syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), 0 )) ↾ 𝐶) = ((𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ↾ 𝐶))
10597, 104eqtr4d 2688 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐶) = ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), 0 )) ↾ 𝐶))
106105oveq2d 6706 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝐶)) = (𝐺 Σg ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), 0 )) ↾ 𝐶)))
10790, 40fmptd 6425 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), 0 )):𝐴𝐵)
108 frn 6091 . . . . . . 7 ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), 0 )):𝐴⟶((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘ran 𝐹) → ran (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), 0 )) ⊆ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘ran 𝐹))
10941, 108syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ran (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), 0 )) ⊆ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘ran 𝐹))
1104cntzidss 17816 . . . . . 6 ((((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘ran 𝐹) ⊆ (𝑍‘((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘ran 𝐹)) ∧ ran (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), 0 )) ⊆ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘ran 𝐹)) → ran (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), 0 )) ⊆ (𝑍‘ran (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), 0 ))))
11128, 109, 110syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), 0 )) ⊆ (𝑍‘ran (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), 0 ))))
112 eldifn 3766 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (𝐴𝐶) → ¬ 𝑘𝐶)
113112adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐶)) → ¬ 𝑘𝐶)
114113iffalsed 4130 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐶)) → if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), 0 ) = 0 )
115114, 6suppss2 7374 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), 0 )) supp 0 ) ⊆ 𝐶)
1161, 2, 4, 5, 6, 107, 111, 115, 12gsumzres 18356 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), 0 )) ↾ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), 0 ))))
117106, 116eqtrd 2685 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), 0 ))))
11846reseq1d 5427 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐷) = ((𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ↾ 𝐷))
119 ssun2 3810 . . . . . . . 8 𝐷 ⊆ (𝐶𝐷)
120119, 79syl5sseqr 3687 . . . . . . 7 (𝜑𝐷𝐴)
12171mpteq2ia 4773 . . . . . . . 8 (𝑘𝐷 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 0 )) = (𝑘𝐷 ↦ (𝐹𝑘))
122 resmpt 5484 . . . . . . . 8 (𝐷𝐴 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 0 )) ↾ 𝐷) = (𝑘𝐷 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 0 )))
123 resmpt 5484 . . . . . . . 8 (𝐷𝐴 → ((𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ↾ 𝐷) = (𝑘𝐷 ↦ (𝐹𝑘)))
124121, 122, 1233eqtr4a 2711 . . . . . . 7 (𝐷𝐴 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 0 )) ↾ 𝐷) = ((𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ↾ 𝐷))
125120, 124syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 0 )) ↾ 𝐷) = ((𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ↾ 𝐷))
126118, 125eqtr4d 2688 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐷) = ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 0 )) ↾ 𝐷))
127126oveq2d 6706 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝐷)) = (𝐺 Σg ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 0 )) ↾ 𝐷)))
12891, 43fmptd 6425 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 0 )):𝐴𝐵)
129 frn 6091 . . . . . . 7 ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 0 )):𝐴⟶((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘ran 𝐹) → ran (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 0 )) ⊆ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘ran 𝐹))
13044, 129syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ran (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 0 )) ⊆ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘ran 𝐹))
1314cntzidss 17816 . . . . . 6 ((((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘ran 𝐹) ⊆ (𝑍‘((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘ran 𝐹)) ∧ ran (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 0 )) ⊆ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘ran 𝐹)) → ran (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 0 )) ⊆ (𝑍‘ran (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 0 ))))
13228, 130, 131syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 0 )) ⊆ (𝑍‘ran (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 0 ))))
133 eldifn 3766 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (𝐴𝐷) → ¬ 𝑘𝐷)
134133adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐷)) → ¬ 𝑘𝐷)
135134iffalsed 4130 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐷)) → if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 0 ) = 0 )
136135, 6suppss2 7374 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 0 )) supp 0 ) ⊆ 𝐷)
1371, 2, 4, 5, 6, 128, 132, 136, 13gsumzres 18356 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 0 )) ↾ 𝐷)) = (𝐺 Σg (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 0 ))))
138127, 137eqtrd 2685 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝐷)) = (𝐺 Σg (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 0 ))))
139117, 138oveq12d 6708 . 2 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹𝐶)) + (𝐺 Σg (𝐹𝐷))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), 0 ))) + (𝐺 Σg (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 0 )))))
14045, 96, 1393eqtr4d 2695 1 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝐹𝐶)) + (𝐺 Σg (𝐹𝐷))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  cdif 3604  cun 3605  cin 3606  wss 3607  c0 3948  ifcif 4119   class class class wbr 4685  cmpt 4762  ran crn 5144  cres 5145   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑓 cof 6937   finSupp cfsupp 8316  Basecbs 15904  s cress 15905  +gcplusg 15988  0gc0g 16147   Σg cgsu 16148  Moorecmre 16289  mrClscmrc 16290  ACScacs 16292  Mndcmnd 17341  SubMndcsubmnd 17381  Cntzccntz 17794  CMndccmn 18239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-cntz 17796  df-cmn 18241
This theorem is referenced by:  gsumsplit  18374  gsumzunsnd  18401  dpjidcl  18503
  Copyright terms: Public domain W3C validator