MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumzres 18530
Description: Extend a finite group sum by padding outside with zeroes. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Revised by AV, 31-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzcl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumzcl.0 0 = (0g𝐺)
gsumzcl.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumzcl.g (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
gsumzcl.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumzcl.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
gsumzcl.c (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
gsumzres.s (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑊)
gsumzres.w (𝜑𝐹 finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsumzres (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝑊)) = (𝐺 Σg 𝐹))

Proof of Theorem gsumzres
Dummy variables 𝑓 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumzcl.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
2 gsumzcl.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑉)
3 inex1g 4953 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 → (𝐴𝑊) ∈ V)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝑊) ∈ V)
5 gsumzcl.0 . . . . . . . 8 0 = (0g𝐺)
65gsumz 17595 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐴𝑊) ∈ V) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑊) ↦ 0 )) = 0 )
71, 4, 6syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑊) ↦ 0 )) = 0 )
85gsumz 17595 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑉) → (𝐺 Σg (𝑘𝐴0 )) = 0 )
91, 2, 8syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐴0 )) = 0 )
107, 9eqtr4d 2797 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑊) ↦ 0 )) = (𝐺 Σg (𝑘𝐴0 )))
1110adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑊) ↦ 0 )) = (𝐺 Σg (𝑘𝐴0 )))
12 resres 5567 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴) ↾ 𝑊) = (𝐹 ↾ (𝐴𝑊))
13 gsumzcl.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
14 ffn 6206 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝐴𝐵𝐹 Fn 𝐴)
15 fnresdm 6161 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹𝐴) = 𝐹)
1613, 14, 153syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝐴) = 𝐹)
1716reseq1d 5550 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝐴) ↾ 𝑊) = (𝐹𝑊))
1812, 17syl5eqr 2808 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴𝑊)) = (𝐹𝑊))
1918adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐹 ↾ (𝐴𝑊)) = (𝐹𝑊))
20 fvex 6363 . . . . . . . . . . 11 (0g𝐺) ∈ V
215, 20eqeltri 2835 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
2221a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑0 ∈ V)
23 ssid 3765 . . . . . . . . . 10 (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 )
2423a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
2513, 2, 22, 24gsumcllem 18529 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → 𝐹 = (𝑘𝐴0 ))
2625reseq1d 5550 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐹 ↾ (𝐴𝑊)) = ((𝑘𝐴0 ) ↾ (𝐴𝑊)))
27 inss1 3976 . . . . . . . 8 (𝐴𝑊) ⊆ 𝐴
28 resmpt 5607 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑊) ⊆ 𝐴 → ((𝑘𝐴0 ) ↾ (𝐴𝑊)) = (𝑘 ∈ (𝐴𝑊) ↦ 0 ))
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑘𝐴0 ) ↾ (𝐴𝑊)) = (𝑘 ∈ (𝐴𝑊) ↦ 0 )
3026, 29syl6eq 2810 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐹 ↾ (𝐴𝑊)) = (𝑘 ∈ (𝐴𝑊) ↦ 0 ))
3119, 30eqtr3d 2796 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐹𝑊) = (𝑘 ∈ (𝐴𝑊) ↦ 0 ))
3231oveq2d 6830 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐺 Σg (𝐹𝑊)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑊) ↦ 0 )))
3325oveq2d 6830 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑘𝐴0 )))
3411, 32, 333eqtr4d 2804 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐺 Σg (𝐹𝑊)) = (𝐺 Σg 𝐹))
3534ex 449 . 2 (𝜑 → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ → (𝐺 Σg (𝐹𝑊)) = (𝐺 Σg 𝐹)))
36 f1ofo 6306 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–onto→(𝐹 supp 0 ))
37 forn 6280 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–onto→(𝐹 supp 0 ) → ran 𝑓 = (𝐹 supp 0 ))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → ran 𝑓 = (𝐹 supp 0 ))
3938ad2antll 767 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → ran 𝑓 = (𝐹 supp 0 ))
40 gsumzres.s . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑊)
4140adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑊)
4239, 41eqsstrd 3780 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → ran 𝑓𝑊)
43 cores 5799 . . . . . . . . 9 (ran 𝑓𝑊 → ((𝐹𝑊) ∘ 𝑓) = (𝐹𝑓))
4442, 43syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → ((𝐹𝑊) ∘ 𝑓) = (𝐹𝑓))
4544seqeq3d 13023 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → seq1((+g𝐺), ((𝐹𝑊) ∘ 𝑓)) = seq1((+g𝐺), (𝐹𝑓)))
4645fveq1d 6355 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (seq1((+g𝐺), ((𝐹𝑊) ∘ 𝑓))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))) = (seq1((+g𝐺), (𝐹𝑓))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))
47 gsumzcl.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
48 eqid 2760 . . . . . . 7 (+g𝐺) = (+g𝐺)
49 gsumzcl.z . . . . . . 7 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
501adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝐺 ∈ Mnd)
514adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐴𝑊) ∈ V)
5213adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝐹:𝐴𝐵)
53 fssres 6231 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴𝐵 ∧ (𝐴𝑊) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ (𝐴𝑊)):(𝐴𝑊)⟶𝐵)
5452, 27, 53sylancl 697 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹 ↾ (𝐴𝑊)):(𝐴𝑊)⟶𝐵)
5518feq1d 6191 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴𝑊)):(𝐴𝑊)⟶𝐵 ↔ (𝐹𝑊):(𝐴𝑊)⟶𝐵))
5655biimpa 502 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (𝐴𝑊)):(𝐴𝑊)⟶𝐵) → (𝐹𝑊):(𝐴𝑊)⟶𝐵)
5754, 56syldan 488 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹𝑊):(𝐴𝑊)⟶𝐵)
58 gsumzcl.c . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
59 resss 5580 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝑊) ⊆ 𝐹
60 rnss 5509 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑊) ⊆ 𝐹 → ran (𝐹𝑊) ⊆ ran 𝐹)
6159, 60ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ran (𝐹𝑊) ⊆ ran 𝐹
6249cntzidss 17990 . . . . . . . . 9 ((ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹) ∧ ran (𝐹𝑊) ⊆ ran 𝐹) → ran (𝐹𝑊) ⊆ (𝑍‘ran (𝐹𝑊)))
6358, 61, 62sylancl 697 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran (𝐹𝑊) ⊆ (𝑍‘ran (𝐹𝑊)))
6463adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → ran (𝐹𝑊) ⊆ (𝑍‘ran (𝐹𝑊)))
65 simprl 811 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ)
66 f1of1 6298 . . . . . . . . 9 (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1→(𝐹 supp 0 ))
6766ad2antll 767 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1→(𝐹 supp 0 ))
68 suppssdm 7477 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐹
69 fdm 6212 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝐴𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
7013, 69syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
7168, 70syl5sseq 3794 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
7271, 40ssind 3980 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐴𝑊))
7372adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐴𝑊))
74 f1ss 6267 . . . . . . . 8 ((𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1→(𝐹 supp 0 ) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐴𝑊)) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1→(𝐴𝑊))
7567, 73, 74syl2anc 696 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1→(𝐴𝑊))
76 fex 6654 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:𝐴𝐵𝐴𝑉) → 𝐹 ∈ V)
7713, 2, 76syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ∈ V)
78 ressuppss 7483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝐹𝑊) supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
7977, 21, 78sylancl 697 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐹𝑊) supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
80 sseq2 3768 . . . . . . . . . . 11 (ran 𝑓 = (𝐹 supp 0 ) → (((𝐹𝑊) supp 0 ) ⊆ ran 𝑓 ↔ ((𝐹𝑊) supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 )))
8179, 80syl5ibr 236 . . . . . . . . . 10 (ran 𝑓 = (𝐹 supp 0 ) → (𝜑 → ((𝐹𝑊) supp 0 ) ⊆ ran 𝑓))
8236, 37, 813syl 18 . . . . . . . . 9 (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → (𝜑 → ((𝐹𝑊) supp 0 ) ⊆ ran 𝑓))
8382adantl 473 . . . . . . . 8 (((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 )) → (𝜑 → ((𝐹𝑊) supp 0 ) ⊆ ran 𝑓))
8483impcom 445 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → ((𝐹𝑊) supp 0 ) ⊆ ran 𝑓)
85 eqid 2760 . . . . . . 7 (((𝐹𝑊) ∘ 𝑓) supp 0 ) = (((𝐹𝑊) ∘ 𝑓) supp 0 )
8647, 5, 48, 49, 50, 51, 57, 64, 65, 75, 84, 85gsumval3 18528 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑊)) = (seq1((+g𝐺), ((𝐹𝑊) ∘ 𝑓))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))
872adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝐴𝑉)
8858adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
8971adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
90 f1ss 6267 . . . . . . . 8 ((𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1→(𝐹 supp 0 ) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1𝐴)
9167, 89, 90syl2anc 696 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1𝐴)
9223, 39syl5sseqr 3795 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝑓)
93 eqid 2760 . . . . . . 7 ((𝐹𝑓) supp 0 ) = ((𝐹𝑓) supp 0 )
9447, 5, 48, 49, 50, 87, 52, 88, 65, 91, 92, 93gsumval3 18528 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐺 Σg 𝐹) = (seq1((+g𝐺), (𝐹𝑓))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))
9546, 86, 943eqtr4d 2804 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑊)) = (𝐺 Σg 𝐹))
9695expr 644 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ) → (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → (𝐺 Σg (𝐹𝑊)) = (𝐺 Σg 𝐹)))
9796exlimdv 2010 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ) → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → (𝐺 Σg (𝐹𝑊)) = (𝐺 Σg 𝐹)))
9897expimpd 630 . 2 (𝜑 → (((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 )) → (𝐺 Σg (𝐹𝑊)) = (𝐺 Σg 𝐹)))
99 gsumzres.w . . 3 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
100 fsuppimp 8448 . . . 4 (𝐹 finSupp 0 → (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin))
101100simprd 482 . . 3 (𝐹 finSupp 0 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
102 fz1f1o 14660 . . 3 ((𝐹 supp 0 ) ∈ Fin → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ ∨ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))))
10399, 101, 1023syl 18 . 2 (𝜑 → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ ∨ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))))
10435, 98, 103mpjaod 395 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝑊)) = (𝐺 Σg 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  wa 383   = wceq 1632  wex 1853  wcel 2139  Vcvv 3340  cin 3714  wss 3715  c0 4058   class class class wbr 4804  cmpt 4881  dom cdm 5266  ran crn 5267  cres 5268  ccom 5270  Fun wfun 6043   Fn wfn 6044  wf 6045  1-1wf1 6046  ontowfo 6047  1-1-ontowf1o 6048  cfv 6049  (class class class)co 6814   supp csupp 7464  Fincfn 8123   finSupp cfsupp 8442  1c1 10149  cn 11232  ...cfz 12539  seqcseq 13015  chash 13331  Basecbs 16079  +gcplusg 16163  0gc0g 16322   Σg cgsu 16323  Mndcmnd 17515  Cntzccntz 17968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-oi 8582  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-seq 13016  df-hash 13332  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-cntz 17970
This theorem is referenced by:  gsumres  18534  gsumzsplit  18547  gsumpt  18581  dmdprdsplitlem  18656  dpjidcl  18677  mplcoe5  19690
  Copyright terms: Public domain W3C validator