MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumzinv 18466
Description: Inverse of a group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzinv.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumzinv.0 0 = (0g𝐺)
gsumzinv.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumzinv.i 𝐼 = (invg𝐺)
gsumzinv.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
gsumzinv.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumzinv.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
gsumzinv.c (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
gsumzinv.n (𝜑𝐹 finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsumzinv (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐼𝐹)) = (𝐼‘(𝐺 Σg 𝐹)))

Proof of Theorem gsumzinv
StepHypRef Expression
1 gsumzinv.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumzinv.0 . . 3 0 = (0g𝐺)
3 gsumzinv.z . . 3 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
4 eqid 2724 . . 3 (oppg𝐺) = (oppg𝐺)
5 gsumzinv.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
6 grpmnd 17551 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
75, 6syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
8 gsumzinv.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
9 gsumzinv.i . . . . . 6 𝐼 = (invg𝐺)
101, 9grpinvf 17588 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → 𝐼:𝐵𝐵)
115, 10syl 17 . . . 4 (𝜑𝐼:𝐵𝐵)
12 gsumzinv.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
13 fco 6171 . . . 4 ((𝐼:𝐵𝐵𝐹:𝐴𝐵) → (𝐼𝐹):𝐴𝐵)
1411, 12, 13syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → (𝐼𝐹):𝐴𝐵)
154, 9invoppggim 17911 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso (oppg𝐺)))
16 gimghm 17828 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso (oppg𝐺)) → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom (oppg𝐺)))
17 ghmmhm 17792 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom (oppg𝐺)) → 𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppg𝐺)))
185, 15, 16, 174syl 19 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppg𝐺)))
19 gsumzinv.c . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
20 eqid 2724 . . . . . 6 (Cntz‘(oppg𝐺)) = (Cntz‘(oppg𝐺))
213, 20cntzmhm2 17893 . . . . 5 ((𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppg𝐺)) ∧ ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹)) → (𝐼 “ ran 𝐹) ⊆ ((Cntz‘(oppg𝐺))‘(𝐼 “ ran 𝐹)))
2218, 19, 21syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 “ ran 𝐹) ⊆ ((Cntz‘(oppg𝐺))‘(𝐼 “ ran 𝐹)))
23 rnco2 5755 . . . 4 ran (𝐼𝐹) = (𝐼 “ ran 𝐹)
2423fveq2i 6307 . . . . 5 (𝑍‘ran (𝐼𝐹)) = (𝑍‘(𝐼 “ ran 𝐹))
254, 3oppgcntz 17915 . . . . 5 (𝑍‘(𝐼 “ ran 𝐹)) = ((Cntz‘(oppg𝐺))‘(𝐼 “ ran 𝐹))
2624, 25eqtri 2746 . . . 4 (𝑍‘ran (𝐼𝐹)) = ((Cntz‘(oppg𝐺))‘(𝐼 “ ran 𝐹))
2722, 23, 263sstr4g 3752 . . 3 (𝜑 → ran (𝐼𝐹) ⊆ (𝑍‘ran (𝐼𝐹)))
28 fvex 6314 . . . . . 6 (0g𝐺) ∈ V
292, 28eqeltri 2799 . . . . 5 0 ∈ V
3029a1i 11 . . . 4 (𝜑0 ∈ V)
31 fvex 6314 . . . . . 6 (Base‘𝐺) ∈ V
321, 31eqeltri 2799 . . . . 5 𝐵 ∈ V
3332a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ V)
34 gsumzinv.n . . . 4 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
352, 9grpinvid 17598 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (𝐼0 ) = 0 )
365, 35syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐼0 ) = 0 )
3730, 12, 11, 8, 33, 34, 36fsuppco2 8424 . . 3 (𝜑 → (𝐼𝐹) finSupp 0 )
381, 2, 3, 4, 7, 8, 14, 27, 37gsumzoppg 18465 . 2 (𝜑 → ((oppg𝐺) Σg (𝐼𝐹)) = (𝐺 Σg (𝐼𝐹)))
394oppgmnd 17905 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd → (oppg𝐺) ∈ Mnd)
407, 39syl 17 . . 3 (𝜑 → (oppg𝐺) ∈ Mnd)
411, 3, 7, 40, 8, 18, 12, 19, 2, 34gsumzmhm 18458 . 2 (𝜑 → ((oppg𝐺) Σg (𝐼𝐹)) = (𝐼‘(𝐺 Σg 𝐹)))
4238, 41eqtr3d 2760 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐼𝐹)) = (𝐼‘(𝐺 Σg 𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1596  wcel 2103  Vcvv 3304  wss 3680   class class class wbr 4760  ran crn 5219  cima 5221  ccom 5222  wf 5997  cfv 6001  (class class class)co 6765   finSupp cfsupp 8391  Basecbs 15980  0gc0g 16223   Σg cgsu 16224  Mndcmnd 17416   MndHom cmhm 17455  Grpcgrp 17544  invgcminusg 17545   GrpHom cghm 17779   GrpIso cgim 17821  Cntzccntz 17869  oppgcoppg 17896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-iin 4631  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-supp 7416  df-tpos 7472  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-fsupp 8392  df-oi 8531  df-card 8878  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-2 11192  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-seq 12917  df-hash 13233  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-0g 16225  df-gsum 16226  df-mre 16369  df-mrc 16370  df-acs 16372  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-mhm 17457  df-submnd 17458  df-grp 17547  df-minusg 17548  df-ghm 17780  df-gim 17823  df-cntz 17871  df-oppg 17897  df-cmn 18316
This theorem is referenced by:  dprdfinv  18539
  Copyright terms: Public domain W3C validator