MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumzf1o 18434
Description: Re-index a finite group sum using a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Revised by AV, 2-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzcl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumzcl.0 0 = (0g𝐺)
gsumzcl.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumzcl.g (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
gsumzcl.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumzcl.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
gsumzcl.c (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
gsumzcl.w (𝜑𝐹 finSupp 0 )
gsumzf1o.h (𝜑𝐻:𝐶1-1-onto𝐴)
Assertion
Ref Expression
gsumzf1o (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹𝐻)))

Proof of Theorem gsumzf1o
Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumzcl.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
2 gsumzcl.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑉)
3 gsumzcl.0 . . . . . . . 8 0 = (0g𝐺)
43gsumz 17496 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑉) → (𝐺 Σg (𝑘𝐴0 )) = 0 )
51, 2, 4syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐴0 )) = 0 )
6 gsumzf1o.h . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻:𝐶1-1-onto𝐴)
7 f1of1 6249 . . . . . . . . 9 (𝐻:𝐶1-1-onto𝐴𝐻:𝐶1-1𝐴)
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻:𝐶1-1𝐴)
9 f1dmex 7253 . . . . . . . 8 ((𝐻:𝐶1-1𝐴𝐴𝑉) → 𝐶 ∈ V)
108, 2, 9syl2anc 696 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ V)
113gsumz 17496 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐺 Σg (𝑥𝐶0 )) = 0 )
121, 10, 11syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥𝐶0 )) = 0 )
135, 12eqtr4d 2761 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐴0 )) = (𝐺 Σg (𝑥𝐶0 )))
1413adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐺 Σg (𝑘𝐴0 )) = (𝐺 Σg (𝑥𝐶0 )))
15 gsumzcl.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
16 fvex 6314 . . . . . . . 8 (0g𝐺) ∈ V
173, 16eqeltri 2799 . . . . . . 7 0 ∈ V
1817a1i 11 . . . . . 6 (𝜑0 ∈ V)
19 ssid 3730 . . . . . . 7 (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 )
2019a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
2115, 2, 18, 20gsumcllem 18430 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → 𝐹 = (𝑘𝐴0 ))
2221oveq2d 6781 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑘𝐴0 )))
23 f1of 6250 . . . . . . . . 9 (𝐻:𝐶1-1-onto𝐴𝐻:𝐶𝐴)
246, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻:𝐶𝐴)
2524adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → 𝐻:𝐶𝐴)
2625ffvelrnda 6474 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) ∧ 𝑥𝐶) → (𝐻𝑥) ∈ 𝐴)
2725feqmptd 6363 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → 𝐻 = (𝑥𝐶 ↦ (𝐻𝑥)))
28 eqidd 2725 . . . . . 6 (𝑘 = (𝐻𝑥) → 0 = 0 )
2926, 27, 21, 28fmptco 6511 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐹𝐻) = (𝑥𝐶0 ))
3029oveq2d 6781 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐺 Σg (𝐹𝐻)) = (𝐺 Σg (𝑥𝐶0 )))
3114, 22, 303eqtr4d 2768 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹𝐻)))
3231ex 449 . 2 (𝜑 → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹𝐻))))
33 coass 5767 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻𝐻) ∘ 𝑓) = (𝐻 ∘ (𝐻𝑓))
346adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝐻:𝐶1-1-onto𝐴)
35 f1ococnv2 6276 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐻:𝐶1-1-onto𝐴 → (𝐻𝐻) = ( I ↾ 𝐴))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐻𝐻) = ( I ↾ 𝐴))
3736coeq1d 5391 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → ((𝐻𝐻) ∘ 𝑓) = (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓))
38 f1of1 6249 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1→(𝐹 supp 0 ))
3938ad2antll 767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1→(𝐹 supp 0 ))
40 suppssdm 7428 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐹
41 fdm 6164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹:𝐴𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
4215, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
4340, 42syl5sseq 3759 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
4443adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
45 f1ss 6219 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1→(𝐹 supp 0 ) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1𝐴)
4639, 44, 45syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1𝐴)
47 f1f 6214 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1𝐴𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))⟶𝐴)
48 fcoi2 6192 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))⟶𝐴 → (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓)
4946, 47, 483syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓)
5037, 49eqtrd 2758 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → ((𝐻𝐻) ∘ 𝑓) = 𝑓)
5133, 50syl5reqr 2773 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝑓 = (𝐻 ∘ (𝐻𝑓)))
5251coeq2d 5392 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹𝑓) = (𝐹 ∘ (𝐻 ∘ (𝐻𝑓))))
53 coass 5767 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐻) ∘ (𝐻𝑓)) = (𝐹 ∘ (𝐻 ∘ (𝐻𝑓)))
5452, 53syl6eqr 2776 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹𝑓) = ((𝐹𝐻) ∘ (𝐻𝑓)))
5554seqeq3d 12924 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → seq1((+g𝐺), (𝐹𝑓)) = seq1((+g𝐺), ((𝐹𝐻) ∘ (𝐻𝑓))))
5655fveq1d 6306 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (seq1((+g𝐺), (𝐹𝑓))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))) = (seq1((+g𝐺), ((𝐹𝐻) ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))
57 gsumzcl.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
58 eqid 2724 . . . . . . 7 (+g𝐺) = (+g𝐺)
59 gsumzcl.z . . . . . . 7 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
601adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝐺 ∈ Mnd)
612adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝐴𝑉)
6215adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝐹:𝐴𝐵)
63 gsumzcl.c . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
6463adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
65 simprl 811 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ)
66 f1ofo 6257 . . . . . . . . . 10 (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–onto→(𝐹 supp 0 ))
67 forn 6231 . . . . . . . . . 10 (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–onto→(𝐹 supp 0 ) → ran 𝑓 = (𝐹 supp 0 ))
6866, 67syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → ran 𝑓 = (𝐹 supp 0 ))
6968ad2antll 767 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → ran 𝑓 = (𝐹 supp 0 ))
7019, 69syl5sseqr 3760 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝑓)
71 eqid 2724 . . . . . . 7 ((𝐹𝑓) supp 0 ) = ((𝐹𝑓) supp 0 )
7257, 3, 58, 59, 60, 61, 62, 64, 65, 46, 70, 71gsumval3 18429 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐺 Σg 𝐹) = (seq1((+g𝐺), (𝐹𝑓))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))
7310adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝐶 ∈ V)
74 fco 6171 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴𝐵𝐻:𝐶𝐴) → (𝐹𝐻):𝐶𝐵)
7515, 24, 74syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝐻):𝐶𝐵)
7675adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹𝐻):𝐶𝐵)
77 rncoss 5493 . . . . . . . . 9 ran (𝐹𝐻) ⊆ ran 𝐹
7859cntzidss 17891 . . . . . . . . 9 ((ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹) ∧ ran (𝐹𝐻) ⊆ ran 𝐹) → ran (𝐹𝐻) ⊆ (𝑍‘ran (𝐹𝐻)))
7963, 77, 78sylancl 697 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran (𝐹𝐻) ⊆ (𝑍‘ran (𝐹𝐻)))
8079adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → ran (𝐹𝐻) ⊆ (𝑍‘ran (𝐹𝐻)))
81 f1ocnv 6262 . . . . . . . . . 10 (𝐻:𝐶1-1-onto𝐴𝐻:𝐴1-1-onto𝐶)
82 f1of1 6249 . . . . . . . . . 10 (𝐻:𝐴1-1-onto𝐶𝐻:𝐴1-1𝐶)
836, 81, 823syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻:𝐴1-1𝐶)
8483adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝐻:𝐴1-1𝐶)
85 f1co 6223 . . . . . . . 8 ((𝐻:𝐴1-1𝐶𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1𝐴) → (𝐻𝑓):(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1𝐶)
8684, 46, 85syl2anc 696 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐻𝑓):(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1𝐶)
8719a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
88 fex 6605 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:𝐴𝐵𝐴𝑉) → 𝐹 ∈ V)
8915, 2, 88syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 ∈ V)
90 suppimacnv 7426 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (𝐹 supp 0 ) = (𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
9189, 17, 90sylancl 697 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) = (𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
9291eqcomd 2730 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 “ (V ∖ { 0 })) = (𝐹 supp 0 ))
9392adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹 “ (V ∖ { 0 })) = (𝐹 supp 0 ))
9487, 93, 693sstr4d 3754 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹 “ (V ∖ { 0 })) ⊆ ran 𝑓)
95 imass2 5611 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 “ (V ∖ { 0 })) ⊆ ran 𝑓 → (𝐻 “ (𝐹 “ (V ∖ { 0 }))) ⊆ (𝐻 “ ran 𝑓))
9694, 95syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐻 “ (𝐹 “ (V ∖ { 0 }))) ⊆ (𝐻 “ ran 𝑓))
97 cnvco 5415 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝐻) = (𝐻𝐹)
9897imaeq1i 5573 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐻) “ (V ∖ { 0 })) = ((𝐻𝐹) “ (V ∖ { 0 }))
99 imaco 5753 . . . . . . . . . 10 ((𝐻𝐹) “ (V ∖ { 0 })) = (𝐻 “ (𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
10098, 99eqtri 2746 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐻) “ (V ∖ { 0 })) = (𝐻 “ (𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
101 rnco2 5755 . . . . . . . . 9 ran (𝐻𝑓) = (𝐻 “ ran 𝑓)
10296, 100, 1013sstr4g 3752 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → ((𝐹𝐻) “ (V ∖ { 0 })) ⊆ ran (𝐻𝑓))
103 f1oexrnex 7232 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐻:𝐶1-1-onto𝐴𝐴𝑉) → 𝐻 ∈ V)
1046, 2, 103syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐻 ∈ V)
105 coexg 7234 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) → (𝐹𝐻) ∈ V)
10689, 104, 105syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝐻) ∈ V)
107 suppimacnv 7426 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝐻) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝐹𝐻) supp 0 ) = ((𝐹𝐻) “ (V ∖ { 0 })))
108106, 17, 107sylancl 697 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐹𝐻) supp 0 ) = ((𝐹𝐻) “ (V ∖ { 0 })))
109108sseq1d 3738 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐹𝐻) supp 0 ) ⊆ ran (𝐻𝑓) ↔ ((𝐹𝐻) “ (V ∖ { 0 })) ⊆ ran (𝐻𝑓)))
110109adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (((𝐹𝐻) supp 0 ) ⊆ ran (𝐻𝑓) ↔ ((𝐹𝐻) “ (V ∖ { 0 })) ⊆ ran (𝐻𝑓)))
111102, 110mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → ((𝐹𝐻) supp 0 ) ⊆ ran (𝐻𝑓))
112 eqid 2724 . . . . . . 7 (((𝐹𝐻) ∘ (𝐻𝑓)) supp 0 ) = (((𝐹𝐻) ∘ (𝐻𝑓)) supp 0 )
11357, 3, 58, 59, 60, 73, 76, 80, 65, 86, 111, 112gsumval3 18429 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐺 Σg (𝐹𝐻)) = (seq1((+g𝐺), ((𝐹𝐻) ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))
11456, 72, 1133eqtr4d 2768 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹𝐻)))
115114expr 644 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ) → (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹𝐻))))
116115exlimdv 1974 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ) → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹𝐻))))
117116expimpd 630 . 2 (𝜑 → (((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 )) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹𝐻))))
118 gsumzcl.w . . 3 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
119 fsuppimp 8397 . . . 4 (𝐹 finSupp 0 → (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin))
120119simprd 482 . . 3 (𝐹 finSupp 0 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
121 fz1f1o 14561 . . 3 ((𝐹 supp 0 ) ∈ Fin → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ ∨ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))))
122118, 120, 1213syl 18 . 2 (𝜑 → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ ∨ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))))
12332, 117, 122mpjaod 395 1 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1596  wex 1817  wcel 2103  Vcvv 3304  cdif 3677  wss 3680  c0 4023  {csn 4285   class class class wbr 4760  cmpt 4837   I cid 5127  ccnv 5217  dom cdm 5218  ran crn 5219  cres 5220  cima 5221  ccom 5222  Fun wfun 5995  wf 5997  1-1wf1 5998  ontowfo 5999  1-1-ontowf1o 6000  cfv 6001  (class class class)co 6765   supp csupp 7415  Fincfn 8072   finSupp cfsupp 8391  1c1 10050  cn 11133  ...cfz 12440  seqcseq 12916  chash 13232  Basecbs 15980  +gcplusg 16064  0gc0g 16223   Σg cgsu 16224  Mndcmnd 17416  Cntzccntz 17869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-supp 7416  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-fsupp 8392  df-oi 8531  df-card 8878  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-seq 12917  df-hash 13233  df-0g 16225  df-gsum 16226  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-cntz 17871
This theorem is referenced by:  gsumf1o  18438  smadiadetlem3  20597
  Copyright terms: Public domain W3C validator