MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzcl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumzcl2 18531
Description: Closure of a finite group sum. This theorem has a weaker hypothesis than gsumzcl 18532, because it is not required that 𝐹 is a function (actually, the hypothesis always holds for any proper class 𝐹). (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Revised by AV, 1-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzcl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumzcl.0 0 = (0g𝐺)
gsumzcl.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumzcl.g (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
gsumzcl.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumzcl.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
gsumzcl.c (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
gsumzcl2.w (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
gsumzcl2 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem gsumzcl2
Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumzcl.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
2 gsumzcl.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑉)
3 gsumzcl.0 . . . . . . . . 9 0 = (0g𝐺)
4 fvex 6363 . . . . . . . . 9 (0g𝐺) ∈ V
53, 4eqeltri 2835 . . . . . . . 8 0 ∈ V
65a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑0 ∈ V)
7 ssid 3765 . . . . . . . 8 (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 )
87a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
91, 2, 6, 8gsumcllem 18529 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → 𝐹 = (𝑘𝐴0 ))
109oveq2d 6830 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑘𝐴0 )))
11 gsumzcl.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
123gsumz 17595 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑉) → (𝐺 Σg (𝑘𝐴0 )) = 0 )
1311, 2, 12syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐴0 )) = 0 )
1413adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐺 Σg (𝑘𝐴0 )) = 0 )
1510, 14eqtrd 2794 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐺 Σg 𝐹) = 0 )
16 gsumzcl.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
1716, 3mndidcl 17529 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Mnd → 0𝐵)
1811, 17syl 17 . . . . 5 (𝜑0𝐵)
1918adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → 0𝐵)
2015, 19eqeltrd 2839 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)
2120ex 449 . 2 (𝜑 → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵))
22 eqid 2760 . . . . . . 7 (+g𝐺) = (+g𝐺)
23 gsumzcl.z . . . . . . 7 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
2411adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝐺 ∈ Mnd)
252adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝐴𝑉)
261adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝐹:𝐴𝐵)
27 gsumzcl.c . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
2827adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
29 simprl 811 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ)
30 f1of1 6298 . . . . . . . . 9 (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1→(𝐹 supp 0 ))
3130ad2antll 767 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1→(𝐹 supp 0 ))
32 suppssdm 7477 . . . . . . . . . 10 (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐹
33 fdm 6212 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐴𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
341, 33syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
3532, 34syl5sseq 3794 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
3635adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
37 f1ss 6267 . . . . . . . 8 ((𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1→(𝐹 supp 0 ) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1𝐴)
3831, 36, 37syl2anc 696 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1𝐴)
39 f1ofo 6306 . . . . . . . . . 10 (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–onto→(𝐹 supp 0 ))
40 forn 6280 . . . . . . . . . 10 (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–onto→(𝐹 supp 0 ) → ran 𝑓 = (𝐹 supp 0 ))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → ran 𝑓 = (𝐹 supp 0 ))
4241ad2antll 767 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → ran 𝑓 = (𝐹 supp 0 ))
437, 42syl5sseqr 3795 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝑓)
44 eqid 2760 . . . . . . 7 ((𝐹𝑓) supp 0 ) = ((𝐹𝑓) supp 0 )
4516, 3, 22, 23, 24, 25, 26, 28, 29, 38, 43, 44gsumval3 18528 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐺 Σg 𝐹) = (seq1((+g𝐺), (𝐹𝑓))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))
46 nnuz 11936 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
4729, 46syl6eleq 2849 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ (ℤ‘1))
48 f1f 6262 . . . . . . . . . 10 (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1𝐴𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))⟶𝐴)
4938, 48syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))⟶𝐴)
50 fco 6219 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴𝐵𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))⟶𝐴) → (𝐹𝑓):(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))⟶𝐵)
5126, 49, 50syl2anc 696 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹𝑓):(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))⟶𝐵)
5251ffvelrnda 6523 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))) → ((𝐹𝑓)‘𝑘) ∈ 𝐵)
5316, 22mndcl 17522 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑘𝐵𝑥𝐵) → (𝑘(+g𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
54533expb 1114 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑘𝐵𝑥𝐵)) → (𝑘(+g𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
5524, 54sylan 489 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) ∧ (𝑘𝐵𝑥𝐵)) → (𝑘(+g𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
5647, 52, 55seqcl 13035 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (seq1((+g𝐺), (𝐹𝑓))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))) ∈ 𝐵)
5745, 56eqeltrd 2839 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)
5857expr 644 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ) → (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵))
5958exlimdv 2010 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ) → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵))
6059expimpd 630 . 2 (𝜑 → (((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 )) → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵))
61 gsumzcl2.w . . 3 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
62 fz1f1o 14660 . . 3 ((𝐹 supp 0 ) ∈ Fin → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ ∨ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))))
6361, 62syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ ∨ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))))
6421, 60, 63mpjaod 395 1 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  wa 383   = wceq 1632  wex 1853  wcel 2139  Vcvv 3340  wss 3715  c0 4058  cmpt 4881  dom cdm 5266  ran crn 5267  ccom 5270  wf 6045  1-1wf1 6046  ontowfo 6047  1-1-ontowf1o 6048  cfv 6049  (class class class)co 6814   supp csupp 7464  Fincfn 8123  1c1 10149  cn 11232  cuz 11899  ...cfz 12539  seqcseq 13015  chash 13331  Basecbs 16079  +gcplusg 16163  0gc0g 16322   Σg cgsu 16323  Mndcmnd 17515  Cntzccntz 17968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-oi 8582  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-seq 13016  df-hash 13332  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-cntz 17970
This theorem is referenced by:  gsumzcl  18532  gsumcl2  18535
  Copyright terms: Public domain W3C validator