Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzadd Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: The sum of two group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 5-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzadd.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumzadd.0 0 = (0g𝐺)
gsumzadd.p + = (+g𝐺)
gsumzadd.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumzadd.g (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
gsumzadd.fn (𝜑𝐹 finSupp 0 )
gsumzadd.hn (𝜑𝐻 finSupp 0 )
gsumzadd.s (𝜑𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
gsumzadd.c (𝜑𝑆 ⊆ (𝑍𝑆))
Assertion
Ref Expression
gsumzadd (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝑓 + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))

Proof of Theorem gsumzadd
Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumzadd.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumzadd.0 . 2 0 = (0g𝐺)
3 gsumzadd.p . 2 + = (+g𝐺)
4 gsumzadd.z . 2 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
5 gsumzadd.g . 2 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
6 gsumzadd.a . 2 (𝜑𝐴𝑉)
7 gsumzadd.fn . 2 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
8 gsumzadd.hn . 2 (𝜑𝐻 finSupp 0 )
9 eqid 2771 . 2 ((𝐹𝐻) supp 0 ) = ((𝐹𝐻) supp 0 )
10 gsumzadd.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐴𝑆)
11 gsumzadd.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
121submss 17558 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆𝐵)
1311, 12syl 17 . . 3 (𝜑𝑆𝐵)
1410, 13fssd 6197 . 2 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
15 gsumzadd.h . . 3 (𝜑𝐻:𝐴𝑆)
1615, 13fssd 6197 . 2 (𝜑𝐻:𝐴𝐵)
17 gsumzadd.c . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ (𝑍𝑆))
18 frn 6193 . . . 4 (𝐹:𝐴𝑆 → ran 𝐹𝑆)
1910, 18syl 17 . . 3 (𝜑 → ran 𝐹𝑆)
204cntzidss 17977 . . 3 ((𝑆 ⊆ (𝑍𝑆) ∧ ran 𝐹𝑆) → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
2117, 19, 20syl2anc 573 . 2 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
22 frn 6193 . . . 4 (𝐻:𝐴𝑆 → ran 𝐻𝑆)
2315, 22syl 17 . . 3 (𝜑 → ran 𝐻𝑆)
244cntzidss 17977 . . 3 ((𝑆 ⊆ (𝑍𝑆) ∧ ran 𝐻𝑆) → ran 𝐻 ⊆ (𝑍‘ran 𝐻))
2517, 23, 24syl2anc 573 . 2 (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ (𝑍‘ran 𝐻))
263submcl 17561 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑥𝑆𝑦𝑆) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
27263expb 1113 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
2811, 27sylan 569 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
29 inidm 3971 . . . . 5 (𝐴𝐴) = 𝐴
3028, 10, 15, 6, 6, 29off 7059 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑓 + 𝐻):𝐴𝑆)
31 frn 6193 . . . 4 ((𝐹𝑓 + 𝐻):𝐴𝑆 → ran (𝐹𝑓 + 𝐻) ⊆ 𝑆)
3230, 31syl 17 . . 3 (𝜑 → ran (𝐹𝑓 + 𝐻) ⊆ 𝑆)
334cntzidss 17977 . . 3 ((𝑆 ⊆ (𝑍𝑆) ∧ ran (𝐹𝑓 + 𝐻) ⊆ 𝑆) → ran (𝐹𝑓 + 𝐻) ⊆ (𝑍‘ran (𝐹𝑓 + 𝐻)))
3417, 32, 33syl2anc 573 . 2 (𝜑 → ran (𝐹𝑓 + 𝐻) ⊆ (𝑍‘ran (𝐹𝑓 + 𝐻)))
3517adantr 466 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆))
3613adantr 466 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → 𝑆𝐵)
375adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → 𝐺 ∈ Mnd)
38 vex 3354 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
3938a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → 𝑥 ∈ V)
4011adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
41 simpl 468 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥)) → 𝑥𝐴)
42 fssres 6210 . . . . . . . 8 ((𝐻:𝐴𝑆𝑥𝐴) → (𝐻𝑥):𝑥𝑆)
4315, 41, 42syl2an 583 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → (𝐻𝑥):𝑥𝑆)
4425adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → ran 𝐻 ⊆ (𝑍‘ran 𝐻))
45 resss 5563 . . . . . . . . 9 (𝐻𝑥) ⊆ 𝐻
46 rnss 5492 . . . . . . . . 9 ((𝐻𝑥) ⊆ 𝐻 → ran (𝐻𝑥) ⊆ ran 𝐻)
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . . 8 ran (𝐻𝑥) ⊆ ran 𝐻
484cntzidss 17977 . . . . . . . 8 ((ran 𝐻 ⊆ (𝑍‘ran 𝐻) ∧ ran (𝐻𝑥) ⊆ ran 𝐻) → ran (𝐻𝑥) ⊆ (𝑍‘ran (𝐻𝑥)))
4944, 47, 48sylancl 574 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → ran (𝐻𝑥) ⊆ (𝑍‘ran (𝐻𝑥)))
50 ffun 6188 . . . . . . . . . . 11 (𝐻:𝐴𝑆 → Fun 𝐻)
5115, 50syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Fun 𝐻)
52 funres 6072 . . . . . . . . . 10 (Fun 𝐻 → Fun (𝐻𝑥))
5351, 52syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Fun (𝐻𝑥))
5453adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → Fun (𝐻𝑥))
558fsuppimpd 8438 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐻 supp 0 ) ∈ Fin)
5655adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → (𝐻 supp 0 ) ∈ Fin)
57 fex 6633 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐻:𝐴𝑆𝐴𝑉) → 𝐻 ∈ V)
5815, 6, 57syl2anc 573 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐻 ∈ V)
59 fvex 6342 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝐺) ∈ V
602, 59eqeltri 2846 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
61 ressuppss 7465 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝐻𝑥) supp 0 ) ⊆ (𝐻 supp 0 ))
6258, 60, 61sylancl 574 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐻𝑥) supp 0 ) ⊆ (𝐻 supp 0 ))
6362adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → ((𝐻𝑥) supp 0 ) ⊆ (𝐻 supp 0 ))
64 ssfi 8336 . . . . . . . . 9 (((𝐻 supp 0 ) ∈ Fin ∧ ((𝐻𝑥) supp 0 ) ⊆ (𝐻 supp 0 )) → ((𝐻𝑥) supp 0 ) ∈ Fin)
6556, 63, 64syl2anc 573 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → ((𝐻𝑥) supp 0 ) ∈ Fin)
66 resfunexg 6623 . . . . . . . . . . 11 ((Fun 𝐻𝑥 ∈ V) → (𝐻𝑥) ∈ V)
6751, 38, 66sylancl 574 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐻𝑥) ∈ V)
68 isfsupp 8435 . . . . . . . . . 10 (((𝐻𝑥) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝐻𝑥) finSupp 0 ↔ (Fun (𝐻𝑥) ∧ ((𝐻𝑥) supp 0 ) ∈ Fin)))
6967, 60, 68sylancl 574 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐻𝑥) finSupp 0 ↔ (Fun (𝐻𝑥) ∧ ((𝐻𝑥) supp 0 ) ∈ Fin)))
7069adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → ((𝐻𝑥) finSupp 0 ↔ (Fun (𝐻𝑥) ∧ ((𝐻𝑥) supp 0 ) ∈ Fin)))
7154, 65, 70mpbir2and 692 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → (𝐻𝑥) finSupp 0 )
722, 4, 37, 39, 40, 43, 49, 71gsumzsubmcl 18525 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → (𝐺 Σg (𝐻𝑥)) ∈ 𝑆)
7372snssd 4475 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → {(𝐺 Σg (𝐻𝑥))} ⊆ 𝑆)
741, 4cntz2ss 17972 . . . . 5 ((𝑆𝐵 ∧ {(𝐺 Σg (𝐻𝑥))} ⊆ 𝑆) → (𝑍𝑆) ⊆ (𝑍‘{(𝐺 Σg (𝐻𝑥))}))
7536, 73, 74syl2anc 573 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → (𝑍𝑆) ⊆ (𝑍‘{(𝐺 Σg (𝐻𝑥))}))
7635, 75sstrd 3762 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → 𝑆 ⊆ (𝑍‘{(𝐺 Σg (𝐻𝑥))}))
77 eldifi 3883 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝐴𝑥) → 𝑘𝐴)
7877adantl 467 . . . 4 ((𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥)) → 𝑘𝐴)
79 ffvelrn 6500 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝑆𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)
8010, 78, 79syl2an 583 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)
8176, 80sseldd 3753 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → (𝐹𝑘) ∈ (𝑍‘{(𝐺 Σg (𝐻𝑥))}))
821, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14, 16, 21, 25, 34, 81gsumzaddlem 18528 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝑓 + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  Vcvv 3351   ∖ cdif 3720   ∪ cun 3721   ⊆ wss 3723  {csn 4316   class class class wbr 4786  ran crn 5250   ↾ cres 5251  Fun wfun 6025  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793   ∘𝑓 cof 7042   supp csupp 7446  Fincfn 8109   finSupp cfsupp 8431  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  0gc0g 16308   Σg cgsu 16309  Mndcmnd 17502  SubMndcsubmnd 17542  Cntzccntz 17955 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-cntz 17957 This theorem is referenced by:  gsumadd  18530  gsumzsplit  18534
 Copyright terms: Public domain W3C validator