MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumzadd 18303
Description: The sum of two group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 5-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzadd.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumzadd.0 0 = (0g𝐺)
gsumzadd.p + = (+g𝐺)
gsumzadd.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumzadd.g (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
gsumzadd.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumzadd.fn (𝜑𝐹 finSupp 0 )
gsumzadd.hn (𝜑𝐻 finSupp 0 )
gsumzadd.s (𝜑𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
gsumzadd.c (𝜑𝑆 ⊆ (𝑍𝑆))
gsumzadd.f (𝜑𝐹:𝐴𝑆)
gsumzadd.h (𝜑𝐻:𝐴𝑆)
Assertion
Ref Expression
gsumzadd (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝑓 + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))

Proof of Theorem gsumzadd
Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumzadd.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumzadd.0 . 2 0 = (0g𝐺)
3 gsumzadd.p . 2 + = (+g𝐺)
4 gsumzadd.z . 2 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
5 gsumzadd.g . 2 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
6 gsumzadd.a . 2 (𝜑𝐴𝑉)
7 gsumzadd.fn . 2 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
8 gsumzadd.hn . 2 (𝜑𝐻 finSupp 0 )
9 eqid 2620 . 2 ((𝐹𝐻) supp 0 ) = ((𝐹𝐻) supp 0 )
10 gsumzadd.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐴𝑆)
11 gsumzadd.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
121submss 17331 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆𝐵)
1311, 12syl 17 . . 3 (𝜑𝑆𝐵)
1410, 13fssd 6044 . 2 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
15 gsumzadd.h . . 3 (𝜑𝐻:𝐴𝑆)
1615, 13fssd 6044 . 2 (𝜑𝐻:𝐴𝐵)
17 gsumzadd.c . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ (𝑍𝑆))
18 frn 6040 . . . 4 (𝐹:𝐴𝑆 → ran 𝐹𝑆)
1910, 18syl 17 . . 3 (𝜑 → ran 𝐹𝑆)
204cntzidss 17751 . . 3 ((𝑆 ⊆ (𝑍𝑆) ∧ ran 𝐹𝑆) → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
2117, 19, 20syl2anc 692 . 2 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
22 frn 6040 . . . 4 (𝐻:𝐴𝑆 → ran 𝐻𝑆)
2315, 22syl 17 . . 3 (𝜑 → ran 𝐻𝑆)
244cntzidss 17751 . . 3 ((𝑆 ⊆ (𝑍𝑆) ∧ ran 𝐻𝑆) → ran 𝐻 ⊆ (𝑍‘ran 𝐻))
2517, 23, 24syl2anc 692 . 2 (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ (𝑍‘ran 𝐻))
263submcl 17334 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑥𝑆𝑦𝑆) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
27263expb 1264 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
2811, 27sylan 488 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
29 inidm 3814 . . . . 5 (𝐴𝐴) = 𝐴
3028, 10, 15, 6, 6, 29off 6897 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑓 + 𝐻):𝐴𝑆)
31 frn 6040 . . . 4 ((𝐹𝑓 + 𝐻):𝐴𝑆 → ran (𝐹𝑓 + 𝐻) ⊆ 𝑆)
3230, 31syl 17 . . 3 (𝜑 → ran (𝐹𝑓 + 𝐻) ⊆ 𝑆)
334cntzidss 17751 . . 3 ((𝑆 ⊆ (𝑍𝑆) ∧ ran (𝐹𝑓 + 𝐻) ⊆ 𝑆) → ran (𝐹𝑓 + 𝐻) ⊆ (𝑍‘ran (𝐹𝑓 + 𝐻)))
3417, 32, 33syl2anc 692 . 2 (𝜑 → ran (𝐹𝑓 + 𝐻) ⊆ (𝑍‘ran (𝐹𝑓 + 𝐻)))
3517adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆))
3613adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → 𝑆𝐵)
375adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → 𝐺 ∈ Mnd)
38 vex 3198 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
3938a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → 𝑥 ∈ V)
4011adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
41 simpl 473 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥)) → 𝑥𝐴)
42 fssres 6057 . . . . . . . 8 ((𝐻:𝐴𝑆𝑥𝐴) → (𝐻𝑥):𝑥𝑆)
4315, 41, 42syl2an 494 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → (𝐻𝑥):𝑥𝑆)
4425adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → ran 𝐻 ⊆ (𝑍‘ran 𝐻))
45 resss 5410 . . . . . . . . 9 (𝐻𝑥) ⊆ 𝐻
46 rnss 5343 . . . . . . . . 9 ((𝐻𝑥) ⊆ 𝐻 → ran (𝐻𝑥) ⊆ ran 𝐻)
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . . 8 ran (𝐻𝑥) ⊆ ran 𝐻
484cntzidss 17751 . . . . . . . 8 ((ran 𝐻 ⊆ (𝑍‘ran 𝐻) ∧ ran (𝐻𝑥) ⊆ ran 𝐻) → ran (𝐻𝑥) ⊆ (𝑍‘ran (𝐻𝑥)))
4944, 47, 48sylancl 693 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → ran (𝐻𝑥) ⊆ (𝑍‘ran (𝐻𝑥)))
50 ffun 6035 . . . . . . . . . . 11 (𝐻:𝐴𝑆 → Fun 𝐻)
5115, 50syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Fun 𝐻)
52 funres 5917 . . . . . . . . . 10 (Fun 𝐻 → Fun (𝐻𝑥))
5351, 52syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Fun (𝐻𝑥))
5453adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → Fun (𝐻𝑥))
558fsuppimpd 8267 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐻 supp 0 ) ∈ Fin)
5655adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → (𝐻 supp 0 ) ∈ Fin)
57 fex 6475 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐻:𝐴𝑆𝐴𝑉) → 𝐻 ∈ V)
5815, 6, 57syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐻 ∈ V)
59 fvex 6188 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝐺) ∈ V
602, 59eqeltri 2695 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
61 ressuppss 7299 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝐻𝑥) supp 0 ) ⊆ (𝐻 supp 0 ))
6258, 60, 61sylancl 693 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐻𝑥) supp 0 ) ⊆ (𝐻 supp 0 ))
6362adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → ((𝐻𝑥) supp 0 ) ⊆ (𝐻 supp 0 ))
64 ssfi 8165 . . . . . . . . 9 (((𝐻 supp 0 ) ∈ Fin ∧ ((𝐻𝑥) supp 0 ) ⊆ (𝐻 supp 0 )) → ((𝐻𝑥) supp 0 ) ∈ Fin)
6556, 63, 64syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → ((𝐻𝑥) supp 0 ) ∈ Fin)
66 resfunexg 6464 . . . . . . . . . . 11 ((Fun 𝐻𝑥 ∈ V) → (𝐻𝑥) ∈ V)
6751, 38, 66sylancl 693 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐻𝑥) ∈ V)
68 isfsupp 8264 . . . . . . . . . 10 (((𝐻𝑥) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝐻𝑥) finSupp 0 ↔ (Fun (𝐻𝑥) ∧ ((𝐻𝑥) supp 0 ) ∈ Fin)))
6967, 60, 68sylancl 693 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐻𝑥) finSupp 0 ↔ (Fun (𝐻𝑥) ∧ ((𝐻𝑥) supp 0 ) ∈ Fin)))
7069adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → ((𝐻𝑥) finSupp 0 ↔ (Fun (𝐻𝑥) ∧ ((𝐻𝑥) supp 0 ) ∈ Fin)))
7154, 65, 70mpbir2and 956 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → (𝐻𝑥) finSupp 0 )
722, 4, 37, 39, 40, 43, 49, 71gsumzsubmcl 18299 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → (𝐺 Σg (𝐻𝑥)) ∈ 𝑆)
7372snssd 4331 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → {(𝐺 Σg (𝐻𝑥))} ⊆ 𝑆)
741, 4cntz2ss 17746 . . . . 5 ((𝑆𝐵 ∧ {(𝐺 Σg (𝐻𝑥))} ⊆ 𝑆) → (𝑍𝑆) ⊆ (𝑍‘{(𝐺 Σg (𝐻𝑥))}))
7536, 73, 74syl2anc 692 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → (𝑍𝑆) ⊆ (𝑍‘{(𝐺 Σg (𝐻𝑥))}))
7635, 75sstrd 3605 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → 𝑆 ⊆ (𝑍‘{(𝐺 Σg (𝐻𝑥))}))
77 eldifi 3724 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝐴𝑥) → 𝑘𝐴)
7877adantl 482 . . . 4 ((𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥)) → 𝑘𝐴)
79 ffvelrn 6343 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝑆𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)
8010, 78, 79syl2an 494 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)
8176, 80sseldd 3596 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → (𝐹𝑘) ∈ (𝑍‘{(𝐺 Σg (𝐻𝑥))}))
821, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14, 16, 21, 25, 34, 81gsumzaddlem 18302 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝑓 + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  Vcvv 3195  cdif 3564  cun 3565  wss 3567  {csn 4168   class class class wbr 4644  ran crn 5105  cres 5106  Fun wfun 5870  wf 5872  cfv 5876  (class class class)co 6635  𝑓 cof 6880   supp csupp 7280  Fincfn 7940   finSupp cfsupp 8260  Basecbs 15838  +gcplusg 15922  0gc0g 16081   Σg cgsu 16082  Mndcmnd 17275  SubMndcsubmnd 17315  Cntzccntz 17729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-oi 8400  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-seq 12785  df-hash 13101  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-0g 16083  df-gsum 16084  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-submnd 17317  df-cntz 17731
This theorem is referenced by:  gsumadd  18304  gsumzsplit  18308
  Copyright terms: Public domain W3C validator