Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumxp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumxp 18575
 Description: Write a group sum over a cartesian product as a double sum. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumxp.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumxp.z 0 = (0g𝐺)
gsumxp.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsumxp.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumxp.r (𝜑𝐶𝑊)
gsumxp.f (𝜑𝐹:(𝐴 × 𝐶)⟶𝐵)
gsumxp.w (𝜑𝐹 finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsumxp (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘, 0   𝑗,𝐺,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝐴,𝑗,𝑘   𝐵,𝑗,𝑘   𝐶,𝑗,𝑘   𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝑉
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem gsumxp
StepHypRef Expression
1 gsumxp.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumxp.z . . 3 0 = (0g𝐺)
3 gsumxp.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 gsumxp.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
5 gsumxp.r . . . 4 (𝜑𝐶𝑊)
6 xpexg 7125 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐶𝑊) → (𝐴 × 𝐶) ∈ V)
74, 5, 6syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → (𝐴 × 𝐶) ∈ V)
8 relxp 5283 . . . 4 Rel (𝐴 × 𝐶)
98a1i 11 . . 3 (𝜑 → Rel (𝐴 × 𝐶))
10 dmxpss 5723 . . . 4 dom (𝐴 × 𝐶) ⊆ 𝐴
1110a1i 11 . . 3 (𝜑 → dom (𝐴 × 𝐶) ⊆ 𝐴)
12 gsumxp.f . . 3 (𝜑𝐹:(𝐴 × 𝐶)⟶𝐵)
13 gsumxp.w . . 3 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
141, 2, 3, 7, 9, 4, 11, 12, 13gsum2d 18571 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
15 df-ima 5279 . . . . . . 7 ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) = ran ((𝐴 × 𝐶) ↾ {𝑗})
16 df-res 5278 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 × 𝐶) ↾ {𝑗}) = ((𝐴 × 𝐶) ∩ ({𝑗} × V))
17 inxp 5410 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 × 𝐶) ∩ ({𝑗} × V)) = ((𝐴 ∩ {𝑗}) × (𝐶 ∩ V))
1816, 17eqtri 2782 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 × 𝐶) ↾ {𝑗}) = ((𝐴 ∩ {𝑗}) × (𝐶 ∩ V))
19 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗𝐴)
2019snssd 4485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝐴) → {𝑗} ⊆ 𝐴)
21 sseqin2 3960 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑗} ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ {𝑗}) = {𝑗})
2220, 21sylib 208 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐴 ∩ {𝑗}) = {𝑗})
23 inv1 4113 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∩ V) = 𝐶
2423a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐶 ∩ V) = 𝐶)
2522, 24xpeq12d 5297 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝐴) → ((𝐴 ∩ {𝑗}) × (𝐶 ∩ V)) = ({𝑗} × 𝐶))
2618, 25syl5eq 2806 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝐴) → ((𝐴 × 𝐶) ↾ {𝑗}) = ({𝑗} × 𝐶))
2726rneqd 5508 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴) → ran ((𝐴 × 𝐶) ↾ {𝑗}) = ran ({𝑗} × 𝐶))
28 vex 3343 . . . . . . . . . 10 𝑗 ∈ V
2928snnz 4452 . . . . . . . . 9 {𝑗} ≠ ∅
30 rnxp 5722 . . . . . . . . 9 ({𝑗} ≠ ∅ → ran ({𝑗} × 𝐶) = 𝐶)
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . 8 ran ({𝑗} × 𝐶) = 𝐶
3227, 31syl6eq 2810 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝐴) → ran ((𝐴 × 𝐶) ↾ {𝑗}) = 𝐶)
3315, 32syl5eq 2806 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝐴) → ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) = 𝐶)
3433mpteq1d 4890 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝑘 ∈ ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)) = (𝑘𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘)))
3534oveq2d 6829 . . . 4 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))) = (𝐺 Σg (𝑘𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))
3635mpteq2dva 4896 . . 3 (𝜑 → (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) = (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘)))))
3736oveq2d 6829 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))) = (𝐺 Σg (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
3814, 37eqtrd 2794 1 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  Vcvv 3340   ∩ cin 3714   ⊆ wss 3715  ∅c0 4058  {csn 4321   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881   × cxp 5264  dom cdm 5266  ran crn 5267   ↾ cres 5268   “ cima 5269  Rel wrel 5271  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813   finSupp cfsupp 8440  Basecbs 16059  0gc0g 16302   Σg cgsu 16303  CMndccmn 18393 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-hash 13312  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395 This theorem is referenced by:  tsmsxplem1  22157  tsmsxplem2  22158
 Copyright terms: Public domain W3C validator