Theorem gsumxp 18575

Description: Write a group sum over a cartesian product as a double sum. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumxp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumxp.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumxp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumxp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumxp.r	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)
gsumxp.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴 × 𝐶)⟶𝐵)
gsumxp.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumxp	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘, 0   𝑗,𝐺,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝐴,𝑗,𝑘   𝐵,𝑗,𝑘   𝐶,𝑗,𝑘   𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝑉

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem gsumxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumxp.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumxp.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsumxp.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsumxp.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		gsumxp.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)
6		xpexg 7125	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐶) ∈ V)
7	4, 5, 6	syl2anc 696	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐶) ∈ V)
8		relxp 5283	. . . 4 ⊢ Rel (𝐴 × 𝐶)
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → Rel (𝐴 × 𝐶))
10		dmxpss 5723	. . . 4 ⊢ dom (𝐴 × 𝐶) ⊆ 𝐴
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (𝐴 × 𝐶) ⊆ 𝐴)
12		gsumxp.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴 × 𝐶)⟶𝐵)
13		gsumxp.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
14	1, 2, 3, 7, 9, 4, 11, 12, 13	gsum2d 18571	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
15		df-ima 5279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) = ran ((𝐴 × 𝐶) ↾ {𝑗})
16		df-res 5278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 × 𝐶) ↾ {𝑗}) = ((𝐴 × 𝐶) ∩ ({𝑗} × V))
17		inxp 5410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 × 𝐶) ∩ ({𝑗} × V)) = ((𝐴 ∩ {𝑗}) × (𝐶 ∩ V))
18	16, 17	eqtri 2782	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 × 𝐶) ↾ {𝑗}) = ((𝐴 ∩ {𝑗}) × (𝐶 ∩ V))
19		simpr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ 𝐴)
20	19	snssd 4485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → {𝑗} ⊆ 𝐴)
21		sseqin2 3960	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑗} ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ {𝑗}) = {𝑗})
22	20, 21	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ {𝑗}) = {𝑗})
23		inv1 4113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∩ V) = 𝐶
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝐶 ∩ V) = 𝐶)
25	22, 24	xpeq12d 5297	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∩ {𝑗}) × (𝐶 ∩ V)) = ({𝑗} × 𝐶))
26	18, 25	syl5eq 2806	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × 𝐶) ↾ {𝑗}) = ({𝑗} × 𝐶))
27	26	rneqd 5508	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ran ((𝐴 × 𝐶) ↾ {𝑗}) = ran ({𝑗} × 𝐶))
28		vex 3343	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑗 ∈ V
29	28	snnz 4452	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑗} ≠ ∅
30		rnxp 5722	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑗} ≠ ∅ → ran ({𝑗} × 𝐶) = 𝐶)
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ran ({𝑗} × 𝐶) = 𝐶
32	27, 31	syl6eq 2810	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ran ((𝐴 × 𝐶) ↾ {𝑗}) = 𝐶)
33	15, 32	syl5eq 2806	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) = 𝐶)
34	33	mpteq1d 4890	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘)))
35	34	oveq2d 6829	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))
36	35	mpteq2dva 4896	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) = (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘)))))
37	36	oveq2d 6829	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
38	14, 37	eqtrd 2794	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  Vcvv 3340   ∩ cin 3714   ⊆ wss 3715  ∅c0 4058  {csn 4321   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881   × cxp 5264  dom cdm 5266  ran crn 5267   ↾ cres 5268   “ cima 5269  Rel wrel 5271  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813   finSupp cfsupp 8440  Basecbs 16059  0_gc0g 16302   Σ_g cgsu 16303  CMndccmn 18393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-hash 13312  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395

This theorem is referenced by:  tsmsxplem1  22157  tsmsxplem2  22158