Theorem gsumws4 39026

Description: Valuation of a length 4 word in a monoid. (Contributed by Stanislas Polu, 10-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumws4.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumws4.1	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gsumws4	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆𝑇𝑈𝑉”⟩) = (𝑆 + (𝑇 + (𝑈 + 𝑉))))

Proof of Theorem gsumws4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1s3 13878	. . . 4 ⊢ ⟨“𝑆𝑇𝑈𝑉”⟩ = (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)))) → ⟨“𝑆𝑇𝑈𝑉”⟩ = (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩))
3	2	oveq2d 6812	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆𝑇𝑈𝑉”⟩) = (𝐺 Σg (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩)))
4		simpl 468	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)))) → 𝐺 ∈ Mnd)
5		simprl 754	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)))) → 𝑆 ∈ 𝐵)
6	5	s1cld 13583	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)))) → ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝐵)
7		simprrl 766	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)))) → 𝑇 ∈ 𝐵)
8		simprrl 766	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵))) → 𝑈 ∈ 𝐵)
9	8	adantl 467	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)))) → 𝑈 ∈ 𝐵)
10		simprrr 767	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵))) → 𝑉 ∈ 𝐵)
11	10	adantl 467	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)))) → 𝑉 ∈ 𝐵)
12	7, 9, 11	s3cld 13826	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)))) → ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩ ∈ Word 𝐵)
13		gsumws4.0	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
14		gsumws4.1	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
15	13, 14	gsumccat 17586	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝐵 ∧ ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩ ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩)) = ((𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) + (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩)))
16	4, 6, 12, 15	syl3anc 1476	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)))) → (𝐺 Σg (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩)) = ((𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) + (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩)))
17	13	gsumws1 17584	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) = 𝑆)
18	17	ad2antrl 707	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) = 𝑆)
19	13, 14	gsumws3 39025	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩) = (𝑇 + (𝑈 + 𝑉)))
20	19	adantrl 695	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩) = (𝑇 + (𝑈 + 𝑉)))
21	18, 20	oveq12d 6814	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)))) → ((𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) + (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩)) = (𝑆 + (𝑇 + (𝑈 + 𝑉))))
22	3, 16, 21	3eqtrd 2809	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆𝑇𝑈𝑉”⟩) = (𝑆 + (𝑇 + (𝑈 + 𝑉))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  Word cword 13487   ++ cconcat 13489  ⟨“cs1 13490  ⟨“cs3 13796  ⟨“cs4 13797  Basecbs 16064  +_gcplusg 16149   Σ_g cgsu 16309  Mndcmnd 17502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-word 13495  df-concat 13497  df-s1 13498  df-s2 13802  df-s3 13803  df-s4 13804  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544

This theorem is referenced by:  amgm4d  39029