Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumws3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumws3 39025
Description: Valuation of a length 3 word in a monoid. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumws3.0 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumws3.1 + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
gsumws3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆𝑇𝑈”⟩) = (𝑆 + (𝑇 + 𝑈)))

Proof of Theorem gsumws3
StepHypRef Expression
1 s1s2 13877 . . . 4 ⟨“𝑆𝑇𝑈”⟩ = (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈”⟩)
21a1i 11 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → ⟨“𝑆𝑇𝑈”⟩ = (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈”⟩))
32oveq2d 6809 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆𝑇𝑈”⟩) = (𝐺 Σg (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈”⟩)))
4 simpl 468 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → 𝐺 ∈ Mnd)
5 simprl 754 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → 𝑆𝐵)
65s1cld 13583 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝐵)
7 simprrl 766 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → 𝑇𝐵)
8 simprrr 767 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → 𝑈𝐵)
97, 8s2cld 13825 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → ⟨“𝑇𝑈”⟩ ∈ Word 𝐵)
10 gsumws3.0 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
11 gsumws3.1 . . . 4 + = (+g𝐺)
1210, 11gsumccat 17586 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝐵 ∧ ⟨“𝑇𝑈”⟩ ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈”⟩)) = ((𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) + (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈”⟩)))
134, 6, 9, 12syl3anc 1476 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → (𝐺 Σg (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈”⟩)) = ((𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) + (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈”⟩)))
1410gsumws1 17584 . . . 4 (𝑆𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) = 𝑆)
1514ad2antrl 707 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) = 𝑆)
1610, 11gsumws2 17587 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) → (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈”⟩) = (𝑇 + 𝑈))
17163expb 1113 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵)) → (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈”⟩) = (𝑇 + 𝑈))
1817adantrl 695 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈”⟩) = (𝑇 + 𝑈))
1915, 18oveq12d 6811 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → ((𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) + (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈”⟩)) = (𝑆 + (𝑇 + 𝑈)))
203, 13, 193eqtrd 2809 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆𝑇𝑈”⟩) = (𝑆 + (𝑇 + 𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  cfv 6031  (class class class)co 6793  Word cword 13487   ++ cconcat 13489  ⟨“cs1 13490  ⟨“cs2 13795  ⟨“cs3 13796  Basecbs 16064  +gcplusg 16149   Σg cgsu 16309  Mndcmnd 17502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-word 13495  df-concat 13497  df-s1 13498  df-s2 13802  df-s3 13803  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544
This theorem is referenced by:  gsumws4  39026  amgm3d  39028
  Copyright terms: Public domain W3C validator