MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumwrev Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumwrev 17917
Description: A sum in an opposite monoid is the regular sum of a reversed word. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumwrev.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
gsumwrev.o 𝑂 = (oppg𝑀)
Assertion
Ref Expression
gsumwrev ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝑂 Σg 𝑊) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑊)))

Proof of Theorem gsumwrev
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6773 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑂 Σg ∅))
2 fveq2 6304 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (reverse‘𝑥) = (reverse‘∅))
3 rev0 13634 . . . . . . 7 (reverse‘∅) = ∅
42, 3syl6eq 2774 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → (reverse‘𝑥) = ∅)
54oveq2d 6781 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) = (𝑀 Σg ∅))
61, 5eqeq12d 2739 . . . 4 (𝑥 = ∅ → ((𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) ↔ (𝑂 Σg ∅) = (𝑀 Σg ∅)))
76imbi2d 329 . . 3 (𝑥 = ∅ → ((𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥))) ↔ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg ∅) = (𝑀 Σg ∅))))
8 oveq2 6773 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑂 Σg 𝑦))
9 fveq2 6304 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (reverse‘𝑥) = (reverse‘𝑦))
109oveq2d 6781 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦)))
118, 10eqeq12d 2739 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) ↔ (𝑂 Σg 𝑦) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦))))
1211imbi2d 329 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥))) ↔ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑦) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦)))))
13 oveq2 6773 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
14 fveq2 6304 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (reverse‘𝑥) = (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
1514oveq2d 6781 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))
1613, 15eqeq12d 2739 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) ↔ (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))))
1716imbi2d 329 . . 3 (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥))) ↔ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))))
18 oveq2 6773 . . . . 5 (𝑥 = 𝑊 → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑂 Σg 𝑊))
19 fveq2 6304 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑊 → (reverse‘𝑥) = (reverse‘𝑊))
2019oveq2d 6781 . . . . 5 (𝑥 = 𝑊 → (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑊)))
2118, 20eqeq12d 2739 . . . 4 (𝑥 = 𝑊 → ((𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) ↔ (𝑂 Σg 𝑊) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑊))))
2221imbi2d 329 . . 3 (𝑥 = 𝑊 → ((𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥))) ↔ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑊) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑊)))))
23 gsumwrev.o . . . . . . 7 𝑂 = (oppg𝑀)
24 eqid 2724 . . . . . . 7 (0g𝑀) = (0g𝑀)
2523, 24oppgid 17907 . . . . . 6 (0g𝑀) = (0g𝑂)
2625gsum0 17400 . . . . 5 (𝑂 Σg ∅) = (0g𝑀)
2724gsum0 17400 . . . . 5 (𝑀 Σg ∅) = (0g𝑀)
2826, 27eqtr4i 2749 . . . 4 (𝑂 Σg ∅) = (𝑀 Σg ∅)
2928a1i 11 . . 3 (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg ∅) = (𝑀 Σg ∅))
30 oveq2 6773 . . . . . 6 ((𝑂 Σg 𝑦) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦)) → (𝑧(+g𝑀)(𝑂 Σg 𝑦)) = (𝑧(+g𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦))))
3123oppgmnd 17905 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ Mnd → 𝑂 ∈ Mnd)
3231adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → 𝑂 ∈ Mnd)
33 simprl 811 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → 𝑦 ∈ Word 𝐵)
34 simprr 813 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → 𝑧𝐵)
3534s1cld 13494 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → ⟨“𝑧”⟩ ∈ Word 𝐵)
36 gsumwrev.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = (Base‘𝑀)
3723, 36oppgbas 17902 . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝑂)
38 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 (+g𝑂) = (+g𝑂)
3937, 38gsumccat 17500 . . . . . . . . 9 ((𝑂 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ ⟨“𝑧”⟩ ∈ Word 𝐵) → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑂 Σg 𝑦)(+g𝑂)(𝑂 Σg ⟨“𝑧”⟩)))
4032, 33, 35, 39syl3anc 1439 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑂 Σg 𝑦)(+g𝑂)(𝑂 Σg ⟨“𝑧”⟩)))
4137gsumws1 17498 . . . . . . . . . . 11 (𝑧𝐵 → (𝑂 Σg ⟨“𝑧”⟩) = 𝑧)
4241ad2antll 767 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → (𝑂 Σg ⟨“𝑧”⟩) = 𝑧)
4342oveq2d 6781 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑂 Σg 𝑦)(+g𝑂)(𝑂 Σg ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑂 Σg 𝑦)(+g𝑂)𝑧))
44 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 (+g𝑀) = (+g𝑀)
4544, 23, 38oppgplus 17900 . . . . . . . . 9 ((𝑂 Σg 𝑦)(+g𝑂)𝑧) = (𝑧(+g𝑀)(𝑂 Σg 𝑦))
4643, 45syl6eq 2774 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑂 Σg 𝑦)(+g𝑂)(𝑂 Σg ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑧(+g𝑀)(𝑂 Σg 𝑦)))
4740, 46eqtrd 2758 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑧(+g𝑀)(𝑂 Σg 𝑦)))
48 revccat 13636 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ ⟨“𝑧”⟩ ∈ Word 𝐵) → (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((reverse‘⟨“𝑧”⟩) ++ (reverse‘𝑦)))
4933, 35, 48syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((reverse‘⟨“𝑧”⟩) ++ (reverse‘𝑦)))
50 revs1 13635 . . . . . . . . . . 11 (reverse‘⟨“𝑧”⟩) = ⟨“𝑧”⟩
5150oveq1i 6775 . . . . . . . . . 10 ((reverse‘⟨“𝑧”⟩) ++ (reverse‘𝑦)) = (⟨“𝑧”⟩ ++ (reverse‘𝑦))
5249, 51syl6eq 2774 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (⟨“𝑧”⟩ ++ (reverse‘𝑦)))
5352oveq2d 6781 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑀 Σg (⟨“𝑧”⟩ ++ (reverse‘𝑦))))
54 simpl 474 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → 𝑀 ∈ Mnd)
55 revcl 13631 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ Word 𝐵 → (reverse‘𝑦) ∈ Word 𝐵)
5655ad2antrl 766 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → (reverse‘𝑦) ∈ Word 𝐵)
5736, 44gsumccat 17500 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ ⟨“𝑧”⟩ ∈ Word 𝐵 ∧ (reverse‘𝑦) ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg (⟨“𝑧”⟩ ++ (reverse‘𝑦))) = ((𝑀 Σg ⟨“𝑧”⟩)(+g𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦))))
5854, 35, 56, 57syl3anc 1439 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → (𝑀 Σg (⟨“𝑧”⟩ ++ (reverse‘𝑦))) = ((𝑀 Σg ⟨“𝑧”⟩)(+g𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦))))
5936gsumws1 17498 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝐵 → (𝑀 Σg ⟨“𝑧”⟩) = 𝑧)
6059ad2antll 767 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → (𝑀 Σg ⟨“𝑧”⟩) = 𝑧)
6160oveq1d 6780 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑀 Σg ⟨“𝑧”⟩)(+g𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦))) = (𝑧(+g𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦))))
6253, 58, 613eqtrd 2762 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑧(+g𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦))))
6347, 62eqeq12d 2739 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) ↔ (𝑧(+g𝑀)(𝑂 Σg 𝑦)) = (𝑧(+g𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦)))))
6430, 63syl5ibr 236 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑂 Σg 𝑦) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦)) → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))))
6564expcom 450 . . . 4 ((𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵) → (𝑀 ∈ Mnd → ((𝑂 Σg 𝑦) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦)) → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))))
6665a2d 29 . . 3 ((𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵) → ((𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑦) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦))) → (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))))
677, 12, 17, 22, 29, 66wrdind 13597 . 2 (𝑊 ∈ Word 𝐵 → (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑊) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑊))))
6867impcom 445 1 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝑂 Σg 𝑊) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  c0 4023  cfv 6001  (class class class)co 6765  Word cword 13398   ++ cconcat 13400  ⟨“cs1 13401  reversecreverse 13404  Basecbs 15980  +gcplusg 16064  0gc0g 16223   Σg cgsu 16224  Mndcmnd 17416  oppgcoppg 17896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-tpos 7472  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-card 8878  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-2 11192  df-n0 11406  df-xnn0 11477  df-z 11491  df-uz 11801  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-seq 12917  df-hash 13233  df-word 13406  df-lsw 13407  df-concat 13408  df-s1 13409  df-substr 13410  df-reverse 13412  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-0g 16225  df-gsum 16226  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-submnd 17458  df-oppg 17897
This theorem is referenced by:  symgtrinv  18013
  Copyright terms: Public domain W3C validator