Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumvsca1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumvsca1 29910
Description: Scalar product of a finite group sum for a left module over a semiring. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumvsca.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
gsumvsca.g 𝐺 = (Scalar‘𝑊)
gsumvsca.z 0 = (0g𝑊)
gsumvsca.t · = ( ·𝑠𝑊)
gsumvsca.p + = (+g𝑊)
gsumvsca.k (𝜑𝐾 ⊆ (Base‘𝐺))
gsumvsca.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
gsumvsca.w (𝜑𝑊 ∈ SLMod)
gsumvsca1.n (𝜑𝑃𝐾)
gsumvsca1.c ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑄𝐵)
Assertion
Ref Expression
gsumvsca1 (𝜑 → (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝐴𝑄))))
Distinct variable groups:   · ,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝑊   𝜑,𝑘   𝐵,𝑘   𝑃,𝑘
Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝑄(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐾(𝑘)   0 (𝑘)

Proof of Theorem gsumvsca1
Dummy variables 𝑒 𝑎 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumvsca.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 ssid 3657 . . 3 𝐴𝐴
3 sseq1 3659 . . . . . . 7 (𝑎 = ∅ → (𝑎𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
43anbi2d 740 . . . . . 6 (𝑎 = ∅ → ((𝜑𝑎𝐴) ↔ (𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐴)))
5 mpteq1 4770 . . . . . . . 8 (𝑎 = ∅ → (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄)) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄)))
65oveq2d 6706 . . . . . . 7 (𝑎 = ∅ → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))))
7 mpteq1 4770 . . . . . . . . 9 (𝑎 = ∅ → (𝑘𝑎𝑄) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑄))
87oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (𝑎 = ∅ → (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄)) = (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑄)))
98oveq2d 6706 . . . . . . 7 (𝑎 = ∅ → (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑄))))
106, 9eqeq12d 2666 . . . . . 6 (𝑎 = ∅ → ((𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄))) ↔ (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑄)))))
114, 10imbi12d 333 . . . . 5 (𝑎 = ∅ → (((𝜑𝑎𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄)))) ↔ ((𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑄))))))
12 sseq1 3659 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑒 → (𝑎𝐴𝑒𝐴))
1312anbi2d 740 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑒 → ((𝜑𝑎𝐴) ↔ (𝜑𝑒𝐴)))
14 mpteq1 4770 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑒 → (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄)) = (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄)))
1514oveq2d 6706 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑒 → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))))
16 mpteq1 4770 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑒 → (𝑘𝑎𝑄) = (𝑘𝑒𝑄))
1716oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑒 → (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄)) = (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)))
1817oveq2d 6706 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑒 → (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄))))
1915, 18eqeq12d 2666 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑒 → ((𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄))) ↔ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)))))
2013, 19imbi12d 333 . . . . 5 (𝑎 = 𝑒 → (((𝜑𝑎𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄)))) ↔ ((𝜑𝑒𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄))))))
21 sseq1 3659 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (𝑎𝐴 ↔ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴))
2221anbi2d 740 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → ((𝜑𝑎𝐴) ↔ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)))
23 mpteq1 4770 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄)) = (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄)))
2423oveq2d 6706 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))))
25 mpteq1 4770 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (𝑘𝑎𝑄) = (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑄))
2625oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄)) = (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑄)))
2726oveq2d 6706 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑄))))
2824, 27eqeq12d 2666 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → ((𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄))) ↔ (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑄)))))
2922, 28imbi12d 333 . . . . 5 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (((𝜑𝑎𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄)))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑄))))))
30 sseq1 3659 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎𝐴𝐴𝐴))
3130anbi2d 740 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → ((𝜑𝑎𝐴) ↔ (𝜑𝐴𝐴)))
32 mpteq1 4770 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐴 → (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄)) = (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄)))
3332oveq2d 6706 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))))
34 mpteq1 4770 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝐴 → (𝑘𝑎𝑄) = (𝑘𝐴𝑄))
3534oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐴 → (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄)) = (𝑊 Σg (𝑘𝐴𝑄)))
3635oveq2d 6706 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝐴𝑄))))
3733, 36eqeq12d 2666 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄))) ↔ (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝐴𝑄)))))
3831, 37imbi12d 333 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → (((𝜑𝑎𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄)))) ↔ ((𝜑𝐴𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝐴𝑄))))))
39 gsumvsca.w . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ SLMod)
40 gsumvsca.k . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ⊆ (Base‘𝐺))
41 gsumvsca1.n . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃𝐾)
4240, 41sseldd 3637 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ (Base‘𝐺))
43 gsumvsca.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (Scalar‘𝑊)
44 gsumvsca.t . . . . . . . . . 10 · = ( ·𝑠𝑊)
45 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
46 gsumvsca.z . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑊)
4743, 44, 45, 46slmdvs0 29906 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑃 · 0 ) = 0 )
4839, 42, 47syl2anc 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 · 0 ) = 0 )
4948eqcomd 2657 . . . . . . 7 (𝜑0 = (𝑃 · 0 ))
50 mpt0 6059 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄)) = ∅
5150oveq2i 6701 . . . . . . . 8 (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑊 Σg ∅)
5246gsum0 17325 . . . . . . . 8 (𝑊 Σg ∅) = 0
5351, 52eqtri 2673 . . . . . . 7 (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))) = 0
54 mpt0 6059 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑄) = ∅
5554oveq2i 6701 . . . . . . . . 9 (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑄)) = (𝑊 Σg ∅)
5655, 52eqtri 2673 . . . . . . . 8 (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑄)) = 0
5756oveq2i 6701 . . . . . . 7 (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑄))) = (𝑃 · 0 )
5849, 53, 573eqtr4g 2710 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑄))))
5958adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑄))))
60 ssun1 3809 . . . . . . . . 9 𝑒 ⊆ (𝑒 ∪ {𝑧})
61 sstr2 3643 . . . . . . . . 9 (𝑒 ⊆ (𝑒 ∪ {𝑧}) → ((𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑒𝐴))
6260, 61ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑒𝐴)
6362anim2i 592 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝜑𝑒𝐴))
6463imim1i 63 . . . . . 6 (((𝜑𝑒𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)))) → ((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)))))
6539ad2antrl 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑊 ∈ SLMod)
6642ad2antrl 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐺))
67 gsumvsca.b . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (Base‘𝑊)
68 slmdcmn 29886 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ SLMod → 𝑊 ∈ CMnd)
6965, 68syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑊 ∈ CMnd)
70 vex 3234 . . . . . . . . . . . . 13 𝑒 ∈ V
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑒 ∈ V)
72 simplrl 817 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑒) → 𝜑)
73 simprr 811 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
7473unssad 3823 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑒𝐴)
7574sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑒) → 𝑘𝐴)
76 gsumvsca1.c . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑄𝐵)
7772, 75, 76syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑒) → 𝑄𝐵)
78 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝑒𝑄) = (𝑘𝑒𝑄)
7977, 78fmptd 6425 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑘𝑒𝑄):𝑒𝐵)
80 simpll 805 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑒 ∈ Fin)
81 fvex 6239 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0g𝑊) ∈ V
8246, 81eqeltri 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 0 ∈ V)
8478, 80, 77, 83fsuppmptdm 8327 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑘𝑒𝑄) finSupp 0 )
8567, 46, 69, 71, 79, 84gsumcl 18362 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)) ∈ 𝐵)
8673unssbd 3824 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → {𝑧} ⊆ 𝐴)
87 vex 3234 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧 ∈ V
8887snss 4348 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧𝐴 ↔ {𝑧} ⊆ 𝐴)
8986, 88sylibr 224 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧𝐴)
9076ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝑄𝐵)
9190ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → ∀𝑘𝐴 𝑄𝐵)
92 rspcsbela 4039 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝑄𝐵) → 𝑧 / 𝑘𝑄𝐵)
9389, 91, 92syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧 / 𝑘𝑄𝐵)
94 gsumvsca.p . . . . . . . . . . . 12 + = (+g𝑊)
9567, 94, 43, 44, 45slmdvsdi 29896 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ SLMod ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)) ∈ 𝐵𝑧 / 𝑘𝑄𝐵)) → (𝑃 · ((𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)) + 𝑧 / 𝑘𝑄)) = ((𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄))) + (𝑃 · 𝑧 / 𝑘𝑄)))
9665, 66, 85, 93, 95syl13anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑃 · ((𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)) + 𝑧 / 𝑘𝑄)) = ((𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄))) + (𝑃 · 𝑧 / 𝑘𝑄)))
9796adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)))) → (𝑃 · ((𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)) + 𝑧 / 𝑘𝑄)) = ((𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄))) + (𝑃 · 𝑧 / 𝑘𝑄)))
98 nfcsb1v 3582 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑧 / 𝑘𝑄
9987a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧 ∈ V)
100 simplr 807 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → ¬ 𝑧𝑒)
101 csbeq1a 3575 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑧𝑄 = 𝑧 / 𝑘𝑄)
10298, 67, 94, 69, 80, 77, 99, 100, 93, 101gsumunsnf 18404 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑄)) = ((𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)) + 𝑧 / 𝑘𝑄))
103102oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑄))) = (𝑃 · ((𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)) + 𝑧 / 𝑘𝑄)))
104103adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)))) → (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑄))) = (𝑃 · ((𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)) + 𝑧 / 𝑘𝑄)))
105 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝑃
106 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘 ·
107105, 106, 98nfov 6716 . . . . . . . . . . . 12 𝑘(𝑃 · 𝑧 / 𝑘𝑄)
10872, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑒) → 𝑊 ∈ SLMod)
10972, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑒) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐺))
11067, 43, 44, 45slmdvscl 29895 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑄𝐵) → (𝑃 · 𝑄) ∈ 𝐵)
111108, 109, 77, 110syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑒) → (𝑃 · 𝑄) ∈ 𝐵)
11267, 43, 44, 45slmdvscl 29895 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 / 𝑘𝑄𝐵) → (𝑃 · 𝑧 / 𝑘𝑄) ∈ 𝐵)
11365, 66, 93, 112syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑃 · 𝑧 / 𝑘𝑄) ∈ 𝐵)
114101oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑧 → (𝑃 · 𝑄) = (𝑃 · 𝑧 / 𝑘𝑄))
115107, 67, 94, 69, 80, 111, 99, 100, 113, 114gsumunsnf 18404 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) + (𝑃 · 𝑧 / 𝑘𝑄)))
116115adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)))) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) + (𝑃 · 𝑧 / 𝑘𝑄)))
117 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)))) → (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄))))
118117oveq1d 6705 . . . . . . . . . 10 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)))) → ((𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) + (𝑃 · 𝑧 / 𝑘𝑄)) = ((𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄))) + (𝑃 · 𝑧 / 𝑘𝑄)))
119116, 118eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)))) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄))) + (𝑃 · 𝑧 / 𝑘𝑄)))
12097, 104, 1193eqtr4rd 2696 . . . . . . . 8 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)))) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑄))))
121120exp31 629 . . . . . . 7 ((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) → ((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → ((𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄))) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑄))))))
122121a2d 29 . . . . . 6 ((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) → (((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)))) → ((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑄))))))
12364, 122syl5 34 . . . . 5 ((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) → (((𝜑𝑒𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)))) → ((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑄))))))
12411, 20, 29, 38, 59, 123findcard2s 8242 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → ((𝜑𝐴𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝐴𝑄)))))
125124imp 444 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝜑𝐴𝐴)) → (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝐴𝑄))))
1262, 125mpanr2 720 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝜑) → (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝐴𝑄))))
1271, 126mpancom 704 1 (𝜑 → (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝐴𝑄))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  Vcvv 3231  csb 3566  cun 3605  wss 3607  c0 3948  {csn 4210  cmpt 4762  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  Scalarcsca 15991   ·𝑠 cvsca 15992  0gc0g 16147   Σg cgsu 16148  CMndccmn 18239  SLModcslmd 29881
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-srg 18552  df-slmd 29882
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator