Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumval3lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumval3lem2 18528
 Description: Lemma 2 for gsumval3 18529. (Contributed by AV, 31-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumval3.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumval3.0 0 = (0g𝐺)
gsumval3.p + = (+g𝐺)
gsumval3.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumval3.g (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
gsumval3.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumval3.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
gsumval3.c (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
gsumval3.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
gsumval3.h (𝜑𝐻:(1...𝑀)–1-1𝐴)
gsumval3.n (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻)
gsumval3.w 𝑊 = ((𝐹𝐻) supp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsumval3lem2 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐺 Σg 𝐹) = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)))
Distinct variable groups:   + ,𝑓   𝐴,𝑓   𝜑,𝑓   𝑓,𝐺   𝑓,𝑀   𝐵,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐻   𝑓,𝑊
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑓)   0 (𝑓)   𝑍(𝑓)

Proof of Theorem gsumval3lem2
Dummy variables 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumval3.h . . . . . . 7 (𝜑𝐻:(1...𝑀)–1-1𝐴)
2 f1f 6263 . . . . . . 7 (𝐻:(1...𝑀)–1-1𝐴𝐻:(1...𝑀)⟶𝐴)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐻:(1...𝑀)⟶𝐴)
4 fzfid 12987 . . . . . 6 (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
5 gsumval3.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑉)
6 fex2 7288 . . . . . 6 ((𝐻:(1...𝑀)⟶𝐴 ∧ (1...𝑀) ∈ Fin ∧ 𝐴𝑉) → 𝐻 ∈ V)
73, 4, 5, 6syl3anc 1477 . . . . 5 (𝜑𝐻 ∈ V)
8 vex 3344 . . . . 5 𝑓 ∈ V
9 coexg 7284 . . . . 5 ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ V) → (𝐻𝑓) ∈ V)
107, 8, 9sylancl 697 . . . 4 (𝜑 → (𝐻𝑓) ∈ V)
1110ad2antrr 764 . . 3 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻𝑓) ∈ V)
12 gsumval3.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
13 gsumval3.0 . . . . 5 0 = (0g𝐺)
14 gsumval3.p . . . . 5 + = (+g𝐺)
15 gsumval3.z . . . . 5 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
16 gsumval3.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
17 gsumval3.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
18 gsumval3.c . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
19 gsumval3.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
20 gsumval3.n . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻)
21 gsumval3.w . . . . 5 𝑊 = ((𝐹𝐻) supp 0 )
2212, 13, 14, 15, 16, 5, 17, 18, 19, 1, 20, 21gsumval3lem1 18527 . . . 4 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻𝑓):(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))
23 resexg 5601 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ V → (𝐻𝑊) ∈ V)
247, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐻𝑊) ∈ V)
2524ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻𝑊) ∈ V)
261ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → 𝐻:(1...𝑀)–1-1𝐴)
27 suppssdm 7478 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝐻) supp 0 ) ⊆ dom (𝐹𝐻)
2821, 27eqsstri 3777 . . . . . . . . . . 11 𝑊 ⊆ dom (𝐹𝐻)
29 fco 6220 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:𝐴𝐵𝐻:(1...𝑀)⟶𝐴) → (𝐹𝐻):(1...𝑀)⟶𝐵)
3017, 3, 29syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹𝐻):(1...𝑀)⟶𝐵)
31 fdm 6213 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝐻):(1...𝑀)⟶𝐵 → dom (𝐹𝐻) = (1...𝑀))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom (𝐹𝐻) = (1...𝑀))
3328, 32syl5sseq 3795 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ⊆ (1...𝑀))
3433ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → 𝑊 ⊆ (1...𝑀))
35 f1ores 6314 . . . . . . . . 9 ((𝐻:(1...𝑀)–1-1𝐴𝑊 ⊆ (1...𝑀)) → (𝐻𝑊):𝑊1-1-onto→(𝐻𝑊))
3626, 34, 35syl2anc 696 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻𝑊):𝑊1-1-onto→(𝐻𝑊))
3721imaeq2i 5623 . . . . . . . . . . 11 (𝐻𝑊) = (𝐻 “ ((𝐹𝐻) supp 0 ))
38 fex 6655 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:𝐴𝐵𝐴𝑉) → 𝐹 ∈ V)
3917, 5, 38syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 ∈ V)
40 ovex 6843 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...𝑀) ∈ V
41 fex 6655 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐻:(1...𝑀)⟶𝐴 ∧ (1...𝑀) ∈ V) → 𝐻 ∈ V)
423, 40, 41sylancl 697 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐻 ∈ V)
4339, 42jca 555 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V))
44 f1fun 6265 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐻:(1...𝑀)–1-1𝐴 → Fun 𝐻)
451, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → Fun 𝐻)
4645, 20jca 555 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (Fun 𝐻 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻))
47 imacosupp 7506 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) → ((Fun 𝐻 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻) → (𝐻 “ ((𝐹𝐻) supp 0 )) = (𝐹 supp 0 )))
4843, 46, 47sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐻 “ ((𝐹𝐻) supp 0 )) = (𝐹 supp 0 ))
4948adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑊 ≠ ∅) → (𝐻 “ ((𝐹𝐻) supp 0 )) = (𝐹 supp 0 ))
5037, 49syl5eq 2807 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑊 ≠ ∅) → (𝐻𝑊) = (𝐹 supp 0 ))
5150adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻𝑊) = (𝐹 supp 0 ))
52 f1oeq3 6292 . . . . . . . . 9 ((𝐻𝑊) = (𝐹 supp 0 ) → ((𝐻𝑊):𝑊1-1-onto→(𝐻𝑊) ↔ (𝐻𝑊):𝑊1-1-onto→(𝐹 supp 0 )))
5351, 52syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ((𝐻𝑊):𝑊1-1-onto→(𝐻𝑊) ↔ (𝐻𝑊):𝑊1-1-onto→(𝐹 supp 0 )))
5436, 53mpbid 222 . . . . . . 7 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻𝑊):𝑊1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))
55 f1oen3g 8140 . . . . . . 7 (((𝐻𝑊) ∈ V ∧ (𝐻𝑊):𝑊1-1-onto→(𝐹 supp 0 )) → 𝑊 ≈ (𝐹 supp 0 ))
5625, 54, 55syl2anc 696 . . . . . 6 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → 𝑊 ≈ (𝐹 supp 0 ))
57 fzfi 12986 . . . . . . . . 9 (1...𝑀) ∈ Fin
58 ssfi 8348 . . . . . . . . 9 (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ 𝑊 ⊆ (1...𝑀)) → 𝑊 ∈ Fin)
5957, 33, 58sylancr 698 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ Fin)
6059ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → 𝑊 ∈ Fin)
61 f1f1orn 6311 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐻:(1...𝑀)–1-1𝐴𝐻:(1...𝑀)–1-1-onto→ran 𝐻)
621, 61syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐻:(1...𝑀)–1-1-onto→ran 𝐻)
63 f1oen3g 8140 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐻 ∈ V ∧ 𝐻:(1...𝑀)–1-1-onto→ran 𝐻) → (1...𝑀) ≈ ran 𝐻)
647, 62, 63syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1...𝑀) ≈ ran 𝐻)
65 enfi 8344 . . . . . . . . . . 11 ((1...𝑀) ≈ ran 𝐻 → ((1...𝑀) ∈ Fin ↔ ran 𝐻 ∈ Fin))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1...𝑀) ∈ Fin ↔ ran 𝐻 ∈ Fin))
6757, 66mpbii 223 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran 𝐻 ∈ Fin)
68 ssfi 8348 . . . . . . . . 9 ((ran 𝐻 ∈ Fin ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
6967, 20, 68syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
7069ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
71 hashen 13350 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Fin ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin) → ((♯‘𝑊) = (♯‘(𝐹 supp 0 )) ↔ 𝑊 ≈ (𝐹 supp 0 )))
7260, 70, 71syl2anc 696 . . . . . 6 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ((♯‘𝑊) = (♯‘(𝐹 supp 0 )) ↔ 𝑊 ≈ (𝐹 supp 0 )))
7356, 72mpbird 247 . . . . 5 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (♯‘𝑊) = (♯‘(𝐹 supp 0 )))
7473fveq2d 6358 . . . 4 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))
7522, 74jca 555 . . 3 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ((𝐻𝑓):(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))))
76 f1oeq1 6290 . . . . 5 (𝑔 = (𝐻𝑓) → (𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ↔ (𝐻𝑓):(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 )))
77 coeq2 5437 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝐻𝑓) → (𝐹𝑔) = (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))
7877seqeq3d 13024 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝐻𝑓) → seq1( + , (𝐹𝑔)) = seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓))))
7978fveq1d 6356 . . . . . 6 (𝑔 = (𝐻𝑓) → (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))) = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))
8079eqeq2d 2771 . . . . 5 (𝑔 = (𝐻𝑓) → ((seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))) ↔ (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))))
8176, 80anbi12d 749 . . . 4 (𝑔 = (𝐻𝑓) → ((𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))) ↔ ((𝐻𝑓):(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))))
8281spcegv 3435 . . 3 ((𝐻𝑓) ∈ V → (((𝐻𝑓):(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))) → ∃𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))))
8311, 75, 82sylc 65 . 2 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ∃𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))))
8416ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → 𝐺 ∈ Mnd)
855ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → 𝐴𝑉)
8617ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → 𝐹:𝐴𝐵)
8718ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
8821neeq1i 2997 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ≠ ∅ ↔ ((𝐹𝐻) supp 0 ) ≠ ∅)
89 supp0cosupp0 7505 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ → ((𝐹𝐻) supp 0 ) = ∅))
9089necon3d 2954 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) → (((𝐹𝐻) supp 0 ) ≠ ∅ → (𝐹 supp 0 ) ≠ ∅))
9139, 42, 90syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐹𝐻) supp 0 ) ≠ ∅ → (𝐹 supp 0 ) ≠ ∅))
9288, 91syl5bi 232 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑊 ≠ ∅ → (𝐹 supp 0 ) ≠ ∅))
9392imp 444 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑊 ≠ ∅) → (𝐹 supp 0 ) ≠ ∅)
9493adantr 472 . . . . . . 7 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐹 supp 0 ) ≠ ∅)
9520ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻)
96 frn 6215 . . . . . . . . . 10 (𝐻:(1...𝑀)⟶𝐴 → ran 𝐻𝐴)
973, 96syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran 𝐻𝐴)
9897ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ran 𝐻𝐴)
9995, 98sstrd 3755 . . . . . . 7 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
10012, 13, 14, 15, 84, 85, 86, 87, 70, 94, 99gsumval3eu 18526 . . . . . 6 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ∃!𝑥𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))))
101 iota1 6027 . . . . . 6 (∃!𝑥𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))) → (∃𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))) ↔ (℩𝑥𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))) = 𝑥))
102100, 101syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (∃𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))) ↔ (℩𝑥𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))) = 𝑥))
103 eqid 2761 . . . . . . 7 (𝐹 supp 0 ) = (𝐹 supp 0 )
104 simprl 811 . . . . . . 7 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ¬ 𝐴 ∈ ran ...)
10512, 13, 14, 15, 84, 85, 86, 87, 70, 94, 103, 104gsumval3a 18525 . . . . . 6 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐺 Σg 𝐹) = (℩𝑥𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))))
106105eqeq1d 2763 . . . . 5 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ((𝐺 Σg 𝐹) = 𝑥 ↔ (℩𝑥𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))) = 𝑥))
107102, 106bitr4d 271 . . . 4 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (∃𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))) ↔ (𝐺 Σg 𝐹) = 𝑥))
108107alrimiv 2005 . . 3 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ∀𝑥(∃𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))) ↔ (𝐺 Σg 𝐹) = 𝑥))
109 fvex 6364 . . . 4 (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) ∈ V
110 eqeq1 2765 . . . . . . 7 (𝑥 = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) → (𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))) ↔ (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))))
111110anbi2d 742 . . . . . 6 (𝑥 = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) → ((𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))) ↔ (𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))))
112111exbidv 2000 . . . . 5 (𝑥 = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) → (∃𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))) ↔ ∃𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))))
113 eqeq2 2772 . . . . 5 (𝑥 = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) → ((𝐺 Σg 𝐹) = 𝑥 ↔ (𝐺 Σg 𝐹) = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊))))
114112, 113bibi12d 334 . . . 4 (𝑥 = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) → ((∃𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))) ↔ (𝐺 Σg 𝐹) = 𝑥) ↔ (∃𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))) ↔ (𝐺 Σg 𝐹) = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)))))
115109, 114spcv 3440 . . 3 (∀𝑥(∃𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))) ↔ (𝐺 Σg 𝐹) = 𝑥) → (∃𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))) ↔ (𝐺 Σg 𝐹) = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊))))
116108, 115syl 17 . 2 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (∃𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))) ↔ (𝐺 Σg 𝐹) = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊))))
11783, 116mpbid 222 1 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐺 Σg 𝐹) = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383  ∀wal 1630   = wceq 1632  ∃wex 1853   ∈ wcel 2140  ∃!weu 2608   ≠ wne 2933  Vcvv 3341   ⊆ wss 3716  ∅c0 4059   class class class wbr 4805  dom cdm 5267  ran crn 5268   ↾ cres 5269   “ cima 5270   ∘ ccom 5271  ℩cio 6011  Fun wfun 6044  ⟶wf 6046  –1-1→wf1 6047  –1-1-onto→wf1o 6049  ‘cfv 6050   Isom wiso 6051  (class class class)co 6815   supp csupp 7465   ≈ cen 8121  Fincfn 8124  1c1 10150   < clt 10287  ℕcn 11233  ...cfz 12540  seqcseq 13016  ♯chash 13332  Basecbs 16080  +gcplusg 16164  0gc0g 16323   Σg cgsu 16324  Mndcmnd 17516  Cntzccntz 17969 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-isom 6059  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-supp 7466  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-card 8976  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-seq 13017  df-hash 13333  df-0g 16325  df-gsum 16326  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517  df-cntz 17971 This theorem is referenced by:  gsumval3  18529
 Copyright terms: Public domain W3C validator