MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumval3lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumval3lem2 18528
Description: Lemma 2 for gsumval3 18529. (Contributed by AV, 31-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumval3.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumval3.0 0 = (0g𝐺)
gsumval3.p + = (+g𝐺)
gsumval3.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumval3.g (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
gsumval3.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumval3.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
gsumval3.c (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
gsumval3.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
gsumval3.h (𝜑𝐻:(1...𝑀)–1-1𝐴)
gsumval3.n (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻)
gsumval3.w 𝑊 = ((𝐹𝐻) supp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsumval3lem2 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐺 Σg 𝐹) = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)))
Distinct variable groups:   + ,𝑓   𝐴,𝑓   𝜑,𝑓   𝑓,𝐺   𝑓,𝑀   𝐵,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐻   𝑓,𝑊
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑓)   0 (𝑓)   𝑍(𝑓)

Proof of Theorem gsumval3lem2
Dummy variables 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumval3.h . . . . . . 7 (𝜑𝐻:(1...𝑀)–1-1𝐴)
2 f1f 6263 . . . . . . 7 (𝐻:(1...𝑀)–1-1𝐴𝐻:(1...𝑀)⟶𝐴)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐻:(1...𝑀)⟶𝐴)
4 fzfid 12987 . . . . . 6 (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
5 gsumval3.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑉)
6 fex2 7288 . . . . . 6 ((𝐻:(1...𝑀)⟶𝐴 ∧ (1...𝑀) ∈ Fin ∧ 𝐴𝑉) → 𝐻 ∈ V)
73, 4, 5, 6syl3anc 1477 . . . . 5 (𝜑𝐻 ∈ V)
8 vex 3344 . . . . 5 𝑓 ∈ V
9 coexg 7284 . . . . 5 ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ V) → (𝐻𝑓) ∈ V)
107, 8, 9sylancl 697 . . . 4 (𝜑 → (𝐻𝑓) ∈ V)
1110ad2antrr 764 . . 3 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻𝑓) ∈ V)
12 gsumval3.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
13 gsumval3.0 . . . . 5 0 = (0g𝐺)
14 gsumval3.p . . . . 5 + = (+g𝐺)
15 gsumval3.z . . . . 5 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
16 gsumval3.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
17 gsumval3.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
18 gsumval3.c . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
19 gsumval3.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
20 gsumval3.n . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻)
21 gsumval3.w . . . . 5 𝑊 = ((𝐹𝐻) supp 0 )
2212, 13, 14, 15, 16, 5, 17, 18, 19, 1, 20, 21gsumval3lem1 18527 . . . 4 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻𝑓):(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))
23 resexg 5601 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ V → (𝐻𝑊) ∈ V)
247, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐻𝑊) ∈ V)
2524ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻𝑊) ∈ V)
261ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → 𝐻:(1...𝑀)–1-1𝐴)
27 suppssdm 7478 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝐻) supp 0 ) ⊆ dom (𝐹𝐻)
2821, 27eqsstri 3777 . . . . . . . . . . 11 𝑊 ⊆ dom (𝐹𝐻)
29 fco 6220 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:𝐴𝐵𝐻:(1...𝑀)⟶𝐴) → (𝐹𝐻):(1...𝑀)⟶𝐵)
3017, 3, 29syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹𝐻):(1...𝑀)⟶𝐵)
31 fdm 6213 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝐻):(1...𝑀)⟶𝐵 → dom (𝐹𝐻) = (1...𝑀))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom (𝐹𝐻) = (1...𝑀))
3328, 32syl5sseq 3795 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ⊆ (1...𝑀))
3433ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → 𝑊 ⊆ (1...𝑀))
35 f1ores 6314 . . . . . . . . 9 ((𝐻:(1...𝑀)–1-1𝐴𝑊 ⊆ (1...𝑀)) → (𝐻𝑊):𝑊1-1-onto→(𝐻𝑊))
3626, 34, 35syl2anc 696 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻𝑊):𝑊1-1-onto→(𝐻𝑊))
3721imaeq2i 5623 . . . . . . . . . . 11 (𝐻𝑊) = (𝐻 “ ((𝐹𝐻) supp 0 ))
38 fex 6655 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:𝐴𝐵𝐴𝑉) → 𝐹 ∈ V)
3917, 5, 38syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 ∈ V)
40 ovex 6843 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...𝑀) ∈ V
41 fex 6655 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐻:(1...𝑀)⟶𝐴 ∧ (1...𝑀) ∈ V) → 𝐻 ∈ V)
423, 40, 41sylancl 697 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐻 ∈ V)
4339, 42jca 555 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V))
44 f1fun 6265 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐻:(1...𝑀)–1-1𝐴 → Fun 𝐻)
451, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → Fun 𝐻)
4645, 20jca 555 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (Fun 𝐻 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻))
47 imacosupp 7506 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) → ((Fun 𝐻 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻) → (𝐻 “ ((𝐹𝐻) supp 0 )) = (𝐹 supp 0 )))
4843, 46, 47sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐻 “ ((𝐹𝐻) supp 0 )) = (𝐹 supp 0 ))
4948adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑊 ≠ ∅) → (𝐻 “ ((𝐹𝐻) supp 0 )) = (𝐹 supp 0 ))
5037, 49syl5eq 2807 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑊 ≠ ∅) → (𝐻𝑊) = (𝐹 supp 0 ))
5150adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻𝑊) = (𝐹 supp 0 ))
52 f1oeq3 6292 . . . . . . . . 9 ((𝐻𝑊) = (𝐹 supp 0 ) → ((𝐻𝑊):𝑊1-1-onto→(𝐻𝑊) ↔ (𝐻𝑊):𝑊1-1-onto→(𝐹 supp 0 )))
5351, 52syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ((𝐻𝑊):𝑊1-1-onto→(𝐻𝑊) ↔ (𝐻𝑊):𝑊1-1-onto→(𝐹 supp 0 )))
5436, 53mpbid 222 . . . . . . 7 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻𝑊):𝑊1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))
55 f1oen3g 8140 . . . . . . 7 (((𝐻𝑊) ∈ V ∧ (𝐻𝑊):𝑊1-1-onto→(𝐹 supp 0 )) → 𝑊 ≈ (𝐹 supp 0 ))
5625, 54, 55syl2anc 696 . . . . . 6 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → 𝑊 ≈ (𝐹 supp 0 ))
57 fzfi 12986 . . . . . . . . 9 (1...𝑀) ∈ Fin
58 ssfi 8348 . . . . . . . . 9 (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ 𝑊 ⊆ (1...𝑀)) → 𝑊 ∈ Fin)
5957, 33, 58sylancr 698 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ Fin)
6059ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → 𝑊 ∈ Fin)
61 f1f1orn 6311 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐻:(1...𝑀)–1-1𝐴𝐻:(1...𝑀)–1-1-onto→ran 𝐻)
621, 61syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐻:(1...𝑀)–1-1-onto→ran 𝐻)
63 f1oen3g 8140 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐻 ∈ V ∧ 𝐻:(1...𝑀)–1-1-onto→ran 𝐻) → (1...𝑀) ≈ ran 𝐻)
647, 62, 63syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1...𝑀) ≈ ran 𝐻)
65 enfi 8344 . . . . . . . . . . 11 ((1...𝑀) ≈ ran 𝐻 → ((1...𝑀) ∈ Fin ↔ ran 𝐻 ∈ Fin))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1...𝑀) ∈ Fin ↔ ran 𝐻 ∈ Fin))
6757, 66mpbii 223 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran 𝐻 ∈ Fin)
68 ssfi 8348 . . . . . . . . 9 ((ran 𝐻 ∈ Fin ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
6967, 20, 68syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
7069ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
71 hashen 13350 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Fin ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin) → ((♯‘𝑊) = (♯‘(𝐹 supp 0 )) ↔ 𝑊 ≈ (𝐹 supp 0 )))
7260, 70, 71syl2anc 696 . . . . . 6 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ((♯‘𝑊) = (♯‘(𝐹 supp 0 )) ↔ 𝑊 ≈ (𝐹 supp 0 )))
7356, 72mpbird 247 . . . . 5 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (♯‘𝑊) = (♯‘(𝐹 supp 0 )))
7473fveq2d 6358 . . . 4 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))
7522, 74jca 555 . . 3 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ((𝐻𝑓):(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))))
76 f1oeq1 6290 . . . . 5 (𝑔 = (𝐻𝑓) → (𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ↔ (𝐻𝑓):(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 )))
77 coeq2 5437 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝐻𝑓) → (𝐹𝑔) = (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))
7877seqeq3d 13024 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝐻𝑓) → seq1( + , (𝐹𝑔)) = seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓))))
7978fveq1d 6356 . . . . . 6 (𝑔 = (𝐻𝑓) → (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))) = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))
8079eqeq2d 2771 . . . . 5 (𝑔 = (𝐻𝑓) → ((seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))) ↔ (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))))
8176, 80anbi12d 749 . . . 4 (𝑔 = (𝐻𝑓) → ((𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))) ↔ ((𝐻𝑓):(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))))
8281spcegv 3435 . . 3 ((𝐻𝑓) ∈ V → (((𝐻𝑓):(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))) → ∃𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))))
8311, 75, 82sylc 65 . 2 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ∃𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))))
8416ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → 𝐺 ∈ Mnd)
855ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → 𝐴𝑉)
8617ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → 𝐹:𝐴𝐵)
8718ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
8821neeq1i 2997 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ≠ ∅ ↔ ((𝐹𝐻) supp 0 ) ≠ ∅)
89 supp0cosupp0 7505 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ → ((𝐹𝐻) supp 0 ) = ∅))
9089necon3d 2954 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) → (((𝐹𝐻) supp 0 ) ≠ ∅ → (𝐹 supp 0 ) ≠ ∅))
9139, 42, 90syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐹𝐻) supp 0 ) ≠ ∅ → (𝐹 supp 0 ) ≠ ∅))
9288, 91syl5bi 232 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑊 ≠ ∅ → (𝐹 supp 0 ) ≠ ∅))
9392imp 444 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑊 ≠ ∅) → (𝐹 supp 0 ) ≠ ∅)
9493adantr 472 . . . . . . 7 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐹 supp 0 ) ≠ ∅)
9520ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻)
96 frn 6215 . . . . . . . . . 10 (𝐻:(1...𝑀)⟶𝐴 → ran 𝐻𝐴)
973, 96syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran 𝐻𝐴)
9897ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ran 𝐻𝐴)
9995, 98sstrd 3755 . . . . . . 7 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
10012, 13, 14, 15, 84, 85, 86, 87, 70, 94, 99gsumval3eu 18526 . . . . . 6 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ∃!𝑥𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))))
101 iota1 6027 . . . . . 6 (∃!𝑥𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))) → (∃𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))) ↔ (℩𝑥𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))) = 𝑥))
102100, 101syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (∃𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))) ↔ (℩𝑥𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))) = 𝑥))
103 eqid 2761 . . . . . . 7 (𝐹 supp 0 ) = (𝐹 supp 0 )
104 simprl 811 . . . . . . 7 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ¬ 𝐴 ∈ ran ...)
10512, 13, 14, 15, 84, 85, 86, 87, 70, 94, 103, 104gsumval3a 18525 . . . . . 6 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐺 Σg 𝐹) = (℩𝑥𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))))
106105eqeq1d 2763 . . . . 5 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ((𝐺 Σg 𝐹) = 𝑥 ↔ (℩𝑥𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))) = 𝑥))
107102, 106bitr4d 271 . . . 4 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (∃𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))) ↔ (𝐺 Σg 𝐹) = 𝑥))
108107alrimiv 2005 . . 3 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ∀𝑥(∃𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))) ↔ (𝐺 Σg 𝐹) = 𝑥))
109 fvex 6364 . . . 4 (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) ∈ V
110 eqeq1 2765 . . . . . . 7 (𝑥 = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) → (𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))) ↔ (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))))
111110anbi2d 742 . . . . . 6 (𝑥 = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) → ((𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))) ↔ (𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))))
112111exbidv 2000 . . . . 5 (𝑥 = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) → (∃𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))) ↔ ∃𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))))
113 eqeq2 2772 . . . . 5 (𝑥 = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) → ((𝐺 Σg 𝐹) = 𝑥 ↔ (𝐺 Σg 𝐹) = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊))))
114112, 113bibi12d 334 . . . 4 (𝑥 = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) → ((∃𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))) ↔ (𝐺 Σg 𝐹) = 𝑥) ↔ (∃𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))) ↔ (𝐺 Σg 𝐹) = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)))))
115109, 114spcv 3440 . . 3 (∀𝑥(∃𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))) ↔ (𝐺 Σg 𝐹) = 𝑥) → (∃𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))) ↔ (𝐺 Σg 𝐹) = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊))))
116108, 115syl 17 . 2 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (∃𝑔(𝑔:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)) = (seq1( + , (𝐹𝑔))‘(♯‘(𝐹 supp 0 )))) ↔ (𝐺 Σg 𝐹) = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊))))
11783, 116mpbid 222 1 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐺 Σg 𝐹) = (seq1( + , (𝐹 ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  wal 1630   = wceq 1632  wex 1853  wcel 2140  ∃!weu 2608  wne 2933  Vcvv 3341  wss 3716  c0 4059   class class class wbr 4805  dom cdm 5267  ran crn 5268  cres 5269  cima 5270  ccom 5271  cio 6011  Fun wfun 6044  wf 6046  1-1wf1 6047  1-1-ontowf1o 6049  cfv 6050   Isom wiso 6051  (class class class)co 6815   supp csupp 7465  cen 8121  Fincfn 8124  1c1 10150   < clt 10287  cn 11233  ...cfz 12540  seqcseq 13016  chash 13332  Basecbs 16080  +gcplusg 16164  0gc0g 16323   Σg cgsu 16324  Mndcmnd 17516  Cntzccntz 17969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-isom 6059  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-supp 7466  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-card 8976  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-seq 13017  df-hash 13333  df-0g 16325  df-gsum 16326  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517  df-cntz 17971
This theorem is referenced by:  gsumval3  18529
  Copyright terms: Public domain W3C validator