MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumunsnfd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumunsnfd 18402
Description: Append an element to a finite group sum, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by AV, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumunsnd.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumunsnd.p + = (+g𝐺)
gsumunsnd.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsumunsnd.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
gsumunsnd.f ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑋𝐵)
gsumunsnd.m (𝜑𝑀𝑉)
gsumunsnd.d (𝜑 → ¬ 𝑀𝐴)
gsumunsnd.y (𝜑𝑌𝐵)
gsumunsnd.s ((𝜑𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)
gsumunsnfd.0 𝑘𝑌
Assertion
Ref Expression
gsumunsnfd (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) + 𝑌))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem gsumunsnfd
StepHypRef Expression
1 gsumunsnd.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumunsnd.p . . 3 + = (+g𝐺)
3 gsumunsnd.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 gsumunsnd.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
5 snfi 8079 . . . 4 {𝑀} ∈ Fin
6 unfi 8268 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑀} ∈ Fin) → (𝐴 ∪ {𝑀}) ∈ Fin)
74, 5, 6sylancl 695 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝑀}) ∈ Fin)
8 elun 3786 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↔ (𝑘𝐴𝑘 ∈ {𝑀}))
9 gsumunsnd.f . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑋𝐵)
10 elsni 4227 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ {𝑀} → 𝑘 = 𝑀)
11 gsumunsnd.s . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)
1210, 11sylan2 490 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝑋 = 𝑌)
13 gsumunsnd.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝐵)
1413adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝑌𝐵)
1512, 14eqeltrd 2730 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝑋𝐵)
169, 15jaodan 843 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴𝑘 ∈ {𝑀})) → 𝑋𝐵)
178, 16sylan2b 491 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀})) → 𝑋𝐵)
18 gsumunsnd.d . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑀𝐴)
19 disjsn 4278 . . . 4 ((𝐴 ∩ {𝑀}) = ∅ ↔ ¬ 𝑀𝐴)
2018, 19sylibr 224 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∩ {𝑀}) = ∅)
21 eqidd 2652 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝑀}) = (𝐴 ∪ {𝑀}))
221, 2, 3, 7, 17, 20, 21gsummptfidmsplit 18376 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))))
23 cmnmnd 18254 . . . . 5 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
243, 23syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
25 gsumunsnd.m . . . 4 (𝜑𝑀𝑉)
26 nfv 1883 . . . 4 𝑘𝜑
27 gsumunsnfd.0 . . . 4 𝑘𝑌
281, 24, 25, 13, 11, 26, 27gsumsnfd 18397 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋)) = 𝑌)
2928oveq2d 6706 . 2 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) + 𝑌))
3022, 29eqtrd 2685 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) + 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wnfc 2780  cun 3605  cin 3606  c0 3948  {csn 4210  cmpt 4762  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  Basecbs 15904  +gcplusg 15988   Σg cgsu 16148  Mndcmnd 17341  CMndccmn 18239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241
This theorem is referenced by:  gsumunsnd  18403  gsumunsnf  18404
  Copyright terms: Public domain W3C validator