MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumsnfd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumsnfd 18397
Description: Group sum of a singleton, deduction form, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 28-Mar-2018.) (Revised by AV, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumsnd.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumsnd.g (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
gsumsnd.m (𝜑𝑀𝑉)
gsumsnd.c (𝜑𝐶𝐵)
gsumsnd.s ((𝜑𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐶)
gsumsnfd.p 𝑘𝜑
gsumsnfd.c 𝑘𝐶
Assertion
Ref Expression
gsumsnfd (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)
Distinct variable group:   𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem gsumsnfd
StepHypRef Expression
1 gsumsnfd.p . . . . 5 𝑘𝜑
2 elsni 4227 . . . . . 6 (𝑘 ∈ {𝑀} → 𝑘 = 𝑀)
3 gsumsnd.s . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐶)
42, 3sylan2 490 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝐴 = 𝐶)
51, 4mpteq2da 4776 . . . 4 (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐶))
65oveq2d 6706 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐶)))
7 gsumsnd.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
8 snfi 8079 . . . . 5 {𝑀} ∈ Fin
98a1i 11 . . . 4 (𝜑 → {𝑀} ∈ Fin)
10 gsumsnd.c . . . 4 (𝜑𝐶𝐵)
11 gsumsnfd.c . . . . 5 𝑘𝐶
12 gsumsnd.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
13 eqid 2651 . . . . 5 (.g𝐺) = (.g𝐺)
1411, 12, 13gsumconstf 18381 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ {𝑀} ∈ Fin ∧ 𝐶𝐵) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐶)) = ((#‘{𝑀})(.g𝐺)𝐶))
157, 9, 10, 14syl3anc 1366 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐶)) = ((#‘{𝑀})(.g𝐺)𝐶))
166, 15eqtrd 2685 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = ((#‘{𝑀})(.g𝐺)𝐶))
17 gsumsnd.m . . . 4 (𝜑𝑀𝑉)
18 hashsng 13197 . . . 4 (𝑀𝑉 → (#‘{𝑀}) = 1)
1917, 18syl 17 . . 3 (𝜑 → (#‘{𝑀}) = 1)
2019oveq1d 6705 . 2 (𝜑 → ((#‘{𝑀})(.g𝐺)𝐶) = (1(.g𝐺)𝐶))
2112, 13mulg1 17595 . . 3 (𝐶𝐵 → (1(.g𝐺)𝐶) = 𝐶)
2210, 21syl 17 . 2 (𝜑 → (1(.g𝐺)𝐶) = 𝐶)
2316, 20, 223eqtrd 2689 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wnf 1748  wcel 2030  wnfc 2780  {csn 4210  cmpt 4762  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  1c1 9975  #chash 13157  Basecbs 15904   Σg cgsu 16148  Mndcmnd 17341  .gcmg 17587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mulg 17588  df-cntz 17796
This theorem is referenced by:  gsumsnd  18398  gsumsnf  18399  gsumunsnfd  18402  esumsnf  30254  gsumdifsndf  42469
  Copyright terms: Public domain W3C validator