MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumpt 18568
Description: Sum of a family that is nonzero at at most one point. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumpt.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumpt.z 0 = (0g𝐺)
gsumpt.g (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
gsumpt.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumpt.x (𝜑𝑋𝐴)
gsumpt.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
gsumpt.s (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ {𝑋})
Assertion
Ref Expression
gsumpt (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐹𝑋))

Proof of Theorem gsumpt
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumpt.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
2 gsumpt.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐴)
32snssd 4476 . . . 4 (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐴)
41, 3feqresmpt 6394 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ {𝑋}) = (𝑎 ∈ {𝑋} ↦ (𝐹𝑎)))
54oveq2d 6812 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ {𝑋})) = (𝐺 Σg (𝑎 ∈ {𝑋} ↦ (𝐹𝑎))))
6 gsumpt.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
7 gsumpt.z . . 3 0 = (0g𝐺)
8 eqid 2771 . . 3 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
9 gsumpt.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
10 gsumpt.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
111, 2ffvelrnd 6505 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑋) ∈ 𝐵)
12 eqidd 2772 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝑋)(+g𝐺)(𝐹𝑋)) = ((𝐹𝑋)(+g𝐺)(𝐹𝑋)))
13 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 (+g𝐺) = (+g𝐺)
146, 13, 8elcntzsn 17965 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑋) ∈ 𝐵 → ((𝐹𝑋) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹𝑋)}) ↔ ((𝐹𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐹𝑋)(+g𝐺)(𝐹𝑋)) = ((𝐹𝑋)(+g𝐺)(𝐹𝑋)))))
1511, 14syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝑋) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹𝑋)}) ↔ ((𝐹𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐹𝑋)(+g𝐺)(𝐹𝑋)) = ((𝐹𝑋)(+g𝐺)(𝐹𝑋)))))
1611, 12, 15mpbir2and 692 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑋) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹𝑋)}))
1716snssd 4476 . . . . . 6 (𝜑 → {(𝐹𝑋)} ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹𝑋)}))
18 eqid 2771 . . . . . . 7 (mrCls‘(SubMnd‘𝐺)) = (mrCls‘(SubMnd‘𝐺))
19 eqid 2771 . . . . . . 7 (𝐺s ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)})) = (𝐺s ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)}))
208, 18, 19cntzspan 18454 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ {(𝐹𝑋)} ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹𝑋)})) → (𝐺s ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)})) ∈ CMnd)
219, 17, 20syl2anc 573 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺s ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)})) ∈ CMnd)
226submacs 17573 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
23 acsmre 16520 . . . . . . . 8 ((SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵) → (SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
249, 22, 233syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
2511snssd 4476 . . . . . . 7 (𝜑 → {(𝐹𝑋)} ⊆ 𝐵)
2618mrccl 16479 . . . . . . 7 (((SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ {(𝐹𝑋)} ⊆ 𝐵) → ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)}) ∈ (SubMnd‘𝐺))
2724, 25, 26syl2anc 573 . . . . . 6 (𝜑 → ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)}) ∈ (SubMnd‘𝐺))
2819, 8submcmn2 18451 . . . . . 6 (((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)}) ∈ (SubMnd‘𝐺) → ((𝐺s ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)})) ∈ CMnd ↔ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)}) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)}))))
2927, 28syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺s ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)})) ∈ CMnd ↔ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)}) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)}))))
3021, 29mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)}) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)})))
311ffnd 6185 . . . . . 6 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
32 simpr 471 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑎 = 𝑋) → 𝑎 = 𝑋)
3332fveq2d 6337 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑎 = 𝑋) → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑋))
3424, 18, 25mrcssidd 16493 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {(𝐹𝑋)} ⊆ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)}))
35 fvex 6344 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹𝑋) ∈ V
3635snss 4452 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑋) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)}) ↔ {(𝐹𝑋)} ⊆ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)}))
3734, 36sylibr 224 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑋) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)}))
3837ad2antrr 705 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑎 = 𝑋) → (𝐹𝑋) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)}))
3933, 38eqeltrd 2850 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑎 = 𝑋) → (𝐹𝑎) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)}))
40 eldifsn 4454 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋}) ↔ (𝑎𝐴𝑎𝑋))
41 gsumpt.s . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ {𝑋})
427fvexi 6345 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑0 ∈ V)
441, 41, 10, 43suppssr 7482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})) → (𝐹𝑎) = 0 )
4540, 44sylan2br 582 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑎𝑋)) → (𝐹𝑎) = 0 )
467subm0cl 17560 . . . . . . . . . . . 12 (((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)}) ∈ (SubMnd‘𝐺) → 0 ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)}))
4727, 46syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑0 ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)}))
4847adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑎𝑋)) → 0 ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)}))
4945, 48eqeltrd 2850 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑎𝑋)) → (𝐹𝑎) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)}))
5049anassrs 453 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑎𝑋) → (𝐹𝑎) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)}))
5139, 50pm2.61dane 3030 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝐹𝑎) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)}))
5251ralrimiva 3115 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑎𝐴 (𝐹𝑎) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)}))
53 ffnfv 6533 . . . . . 6 (𝐹:𝐴⟶((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)}) ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑎𝐴 (𝐹𝑎) ∈ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)})))
5431, 52, 53sylanbrc 572 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)}))
5554frnd 6191 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)}))
568cntzidss 17977 . . . 4 ((((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)}) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)})) ∧ ran 𝐹 ⊆ ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘{(𝐹𝑋)})) → ran 𝐹 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝐹))
5730, 55, 56syl2anc 573 . . 3 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝐹))
581ffund 6188 . . . 4 (𝜑 → Fun 𝐹)
59 snfi 8198 . . . . 5 {𝑋} ∈ Fin
60 ssfi 8340 . . . . 5 (({𝑋} ∈ Fin ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ {𝑋}) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
6159, 41, 60sylancr 575 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
62 fex 6636 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴𝐵𝐴𝑉) → 𝐹 ∈ V)
631, 10, 62syl2anc 573 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ V)
64 isfsupp 8439 . . . . 5 ((𝐹 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)))
6563, 43, 64syl2anc 573 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 finSupp 0 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)))
6658, 61, 65mpbir2and 692 . . 3 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
676, 7, 8, 9, 10, 1, 57, 41, 66gsumzres 18517 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ {𝑋})) = (𝐺 Σg 𝐹))
68 fveq2 6333 . . . 4 (𝑎 = 𝑋 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑋))
696, 68gsumsn 18561 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐴 ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑎 ∈ {𝑋} ↦ (𝐹𝑎))) = (𝐹𝑋))
709, 2, 11, 69syl3anc 1476 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑎 ∈ {𝑋} ↦ (𝐹𝑎))) = (𝐹𝑋))
715, 67, 703eqtr3d 2813 1 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐹𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  Vcvv 3351  cdif 3720  wss 3723  {csn 4317   class class class wbr 4787  cmpt 4864  ran crn 5251  cres 5252  Fun wfun 6024   Fn wfn 6025  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6796   supp csupp 7450  Fincfn 8113   finSupp cfsupp 8435  Basecbs 16064  s cress 16065  +gcplusg 16149  0gc0g 16308   Σg cgsu 16309  Moorecmre 16450  mrClscmrc 16451  ACScacs 16453  Mndcmnd 17502  SubMndcsubmnd 17542  Cntzccntz 17955  CMndccmn 18400
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8436  df-oi 8575  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402
This theorem is referenced by:  gsummpt1n0  18571  dprdfid  18624  evlslem3  19729  evlslem1  19730  coe1tmmul2  19861  coe1tmmul  19862  uvcresum  20349  frlmup2  20355  mamulid  20464  mamurid  20465  coe1mul3  24079  tayl0  24336  jensen  24936  linc1  42739
  Copyright terms: Public domain W3C validator