MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumply1subr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumply1subr 19806
Description: Evaluate a group sum in a polynomial ring over a subring. (Contributed by AV, 22-Sep-2019.) (Proof shortened by AV, 31-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgply1.s 𝑆 = (Poly1𝑅)
subrgply1.h 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
subrgply1.u 𝑈 = (Poly1𝐻)
subrgply1.b 𝐵 = (Base‘𝑈)
gsumply1subr.s (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
gsumply1subr.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumply1subr.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
gsumply1subr (𝜑 → (𝑆 Σg 𝐹) = (𝑈 Σg 𝐹))

Proof of Theorem gsumply1subr
Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumply1subr.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
2 gsumply1subr.s . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
3 subrgply1.s . . . . 5 𝑆 = (Poly1𝑅)
4 subrgply1.h . . . . 5 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
5 subrgply1.u . . . . 5 𝑈 = (Poly1𝐻)
6 subrgply1.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑈)
73, 4, 5, 6subrgply1 19805 . . . 4 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
8 subrgsubg 18988 . . . . 5 (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝑆))
9 subgsubm 17817 . . . . 5 (𝐵 ∈ (SubGrp‘𝑆) → 𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑆))
108, 9syl 17 . . . 4 (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑆))
112, 7, 103syl 18 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑆))
12 gsumply1subr.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
13 eqid 2760 . . 3 (𝑆s 𝐵) = (𝑆s 𝐵)
141, 11, 12, 13gsumsubm 17574 . 2 (𝜑 → (𝑆 Σg 𝐹) = ((𝑆s 𝐵) Σg 𝐹))
15 fex 6653 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝐵𝐴𝑉) → 𝐹 ∈ V)
1612, 1, 15syl2anc 696 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ V)
17 ovexd 6843 . . 3 (𝜑 → (𝑆s 𝐵) ∈ V)
18 fvex 6362 . . . . 5 (Poly1𝐻) ∈ V
195, 18eqeltri 2835 . . . 4 𝑈 ∈ V
2019a1i 11 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ V)
21 eqid 2760 . . . . 5 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
226oveq2i 6824 . . . . 5 (𝑆s 𝐵) = (𝑆s (Base‘𝑈))
233, 4, 5, 21, 2, 22ressply1bas 19801 . . . 4 (𝜑 → (Base‘𝑈) = (Base‘(𝑆s 𝐵)))
2423eqcomd 2766 . . 3 (𝜑 → (Base‘(𝑆s 𝐵)) = (Base‘𝑈))
2513subrgring 18985 . . . . 5 (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) → (𝑆s 𝐵) ∈ Ring)
267, 25syl 17 . . . 4 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑆s 𝐵) ∈ Ring)
27 ringmgm 18757 . . . 4 ((𝑆s 𝐵) ∈ Ring → (𝑆s 𝐵) ∈ Mgm)
282, 26, 273syl 18 . . 3 (𝜑 → (𝑆s 𝐵) ∈ Mgm)
29 simpl 474 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)))) → 𝜑)
303, 4, 5, 6, 2, 13ressply1bas 19801 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 = (Base‘(𝑆s 𝐵)))
3130eqcomd 2766 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Base‘(𝑆s 𝐵)) = 𝐵)
3231eleq2d 2825 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)) ↔ 𝑠𝐵))
3332biimpcd 239 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)) → (𝜑𝑠𝐵))
3433adantr 472 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵))) → (𝜑𝑠𝐵))
3534impcom 445 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)))) → 𝑠𝐵)
3631eleq2d 2825 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑡 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)) ↔ 𝑡𝐵))
3736biimpcd 239 . . . . . . 7 (𝑡 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)) → (𝜑𝑡𝐵))
3837adantl 473 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵))) → (𝜑𝑡𝐵))
3938impcom 445 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)))) → 𝑡𝐵)
403, 4, 5, 6, 2, 13ressply1add 19802 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵)) → (𝑠(+g𝑈)𝑡) = (𝑠(+g‘(𝑆s 𝐵))𝑡))
4129, 35, 39, 40syl12anc 1475 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)))) → (𝑠(+g𝑈)𝑡) = (𝑠(+g‘(𝑆s 𝐵))𝑡))
4241eqcomd 2766 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)))) → (𝑠(+g‘(𝑆s 𝐵))𝑡) = (𝑠(+g𝑈)𝑡))
43 ffun 6209 . . . 4 (𝐹:𝐴𝐵 → Fun 𝐹)
4412, 43syl 17 . . 3 (𝜑 → Fun 𝐹)
45 frn 6214 . . . . 5 (𝐹:𝐴𝐵 → ran 𝐹𝐵)
4612, 45syl 17 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐹𝐵)
4746, 30sseqtrd 3782 . . 3 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (Base‘(𝑆s 𝐵)))
4816, 17, 20, 24, 28, 42, 44, 47gsummgmpropd 17476 . 2 (𝜑 → ((𝑆s 𝐵) Σg 𝐹) = (𝑈 Σg 𝐹))
4914, 48eqtrd 2794 1 (𝜑 → (𝑆 Σg 𝐹) = (𝑈 Σg 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  Vcvv 3340  wss 3715  ran crn 5267  Fun wfun 6043  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  Basecbs 16059  s cress 16060  +gcplusg 16143   Σg cgsu 16303  Mgmcmgm 17441  SubMndcsubmnd 17535  SubGrpcsubg 17789  Ringcrg 18747  SubRingcsubrg 18978  Poly1cpl1 19749
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-ofr 7063  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-hash 13312  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-tset 16162  df-ple 16163  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-mulg 17742  df-subg 17792  df-ghm 17859  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-subrg 18980  df-psr 19558  df-mpl 19560  df-opsr 19562  df-psr1 19752  df-ply1 19754
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator