Theorem gsummptnn0fz 18574

Description: A final group sum over a function over the nonnegative integers (given as mapping) is equal to a final group sum over a finite interval of nonnegative integers. (Contributed by AV, 10-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptnn0fz.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
gsummptnn0fz.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptnn0fz.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummptnn0fz.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptnn0fz.f	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵)
gsummptnn0fz.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
gsummptnn0fz.u	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ))

Assertion

Ref	Expression
gsummptnn0fz	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑆,𝑘   0 ,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem gsummptnn0fz

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptnn0fz.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ))
2		nfv 1984	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 )
3		nfv 1984	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑆 < 𝑥
4		nfcsb1v 3682	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶
5	4	nfeq1 2908	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0
6	3, 5	nfim 1966	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑆 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 )
7		breq2 4800	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝑆 < 𝑘 ↔ 𝑆 < 𝑥))
8		csbeq1a 3675	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → 𝐶 = ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶)
9	8	eqeq1d 2754	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝐶 = 0 ↔ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
10	7, 9	imbi12d 333	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ((𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 )))
11	2, 6, 10	cbvral 3298	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
12	1, 11	sylib 208	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
13		simpr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
14		gsummptnn0fz.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵)
15	14	anim2i 594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝜑) → (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵))
16	15	ancoms 468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵))
17		rspcsbela 4141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵)
19	13, 18	jca 555	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵))
20	19	adantr 472	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ) → (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵))
21		eqid 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)
22	21	fvmpts 6439	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶)
23	20, 22	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶)
24		simpr 479	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 )
25	23, 24	eqtrd 2786	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) = 0 )
26	25	ex 449	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) = 0 ))
27	26	imim2d 57	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑆 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ) → (𝑆 < 𝑥 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) = 0 )))
28	27	ralimdva 3092	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) = 0 )))
29	12, 28	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) = 0 ))
30		gsummptnn0fz.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
31		gsummptnn0fz.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
32		gsummptnn0fz.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
33	21	fmpt 6536	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵 ↔ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶):ℕ0⟶𝐵)
34	14, 33	sylib 208	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶):ℕ0⟶𝐵)
35		fvex 6354	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) ∈ V
36	30, 35	eqeltri 2827	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
37		nn0ex 11482	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
38	36, 37	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V)
39		elmapg 8028	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) ∈ (𝐵 ↑𝑚 ℕ0) ↔ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶):ℕ0⟶𝐵))
40	38, 39	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) ∈ (𝐵 ↑𝑚 ℕ0) ↔ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶):ℕ0⟶𝐵))
41	34, 40	mpbird 247	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) ∈ (𝐵 ↑𝑚 ℕ0))
42		gsummptnn0fz.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
43		fz0ssnn0 12620	. . . . 5 ⊢ (0...𝑆) ⊆ ℕ0
44		resmpt 5599	. . . . 5 ⊢ ((0...𝑆) ⊆ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) ↾ (0...𝑆)) = (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ 𝐶))
45	43, 44	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) ↾ (0...𝑆)) = (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ 𝐶)
46	45	eqcomi 2761	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ 𝐶) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) ↾ (0...𝑆))
47	30, 31, 32, 41, 42, 46	fsfnn0gsumfsffz 18571	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) = 0 ) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ 𝐶))))
48	29, 47	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1624  Ⅎwnf 1849   ∈ wcel 2131  ∀wral 3042  Vcvv 3332  ⦋csb 3666   ⊆ wss 3707   class class class wbr 4796   ↦ cmpt 4873   ↾ cres 5260  ⟶wf 6037  ‘cfv 6041  (class class class)co 6805   ↑_𝑚 cmap 8015  0cc0 10120   < clt 10258  ℕ₀cn0 11476  ...cfz 12511  Basecbs 16051  0_gc0g 16294   Σ_g cgsu 16295  CMndccmn 18385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-supp 7456  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8433  df-oi 8572  df-card 8947  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-seq 12988  df-hash 13304  df-0g 16296  df-gsum 16297  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-cntz 17942  df-cmn 18387

This theorem is referenced by:  gsummptnn0fzv  18575  gsummoncoe1  19868  pmatcollpwfi  20781