Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummptif1n0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummptif1n0 18585
 Description: If only one summand in a finite group sum is not zero, the whole sum equals this summand. (Contributed by AV, 17-Feb-2019.) (Proof shortened by AV, 11-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummpt1n0.0 0 = (0g𝐺)
gsummpt1n0.g (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
gsummpt1n0.i (𝜑𝐼𝑊)
gsummpt1n0.x (𝜑𝑋𝐼)
gsummpt1n0.f 𝐹 = (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
gsummptif1n0.a (𝜑𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
gsummptif1n0 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺   𝑛,𝐼   𝑛,𝑋   𝜑,𝑛   0 ,𝑛   𝐴,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑛)   𝑊(𝑛)

Proof of Theorem gsummptif1n0
StepHypRef Expression
1 gsummpt1n0.0 . . 3 0 = (0g𝐺)
2 gsummpt1n0.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
3 gsummpt1n0.i . . 3 (𝜑𝐼𝑊)
4 gsummpt1n0.x . . 3 (𝜑𝑋𝐼)
5 gsummpt1n0.f . . 3 𝐹 = (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
6 gsummptif1n0.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
76ralrimivw 3105 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛𝐼 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
81, 2, 3, 4, 5, 7gsummpt1n0 18584 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = 𝑋 / 𝑛𝐴)
9 csbconstg 3687 . . 3 (𝑋𝐼𝑋 / 𝑛𝐴 = 𝐴)
104, 9syl 17 . 2 (𝜑𝑋 / 𝑛𝐴 = 𝐴)
118, 10eqtrd 2794 1 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ⦋csb 3674  ifcif 4230   ↦ cmpt 4881  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  0gc0g 16322   Σg cgsu 16323  Mndcmnd 17515 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-oi 8582  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-seq 13016  df-hash 13332  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-mulg 17762  df-cntz 17970  df-cmn 18415 This theorem is referenced by:  1mavmul  20576  mulmarep1gsum1  20601  mdetdiag  20627
 Copyright terms: Public domain W3C validator