Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummptfzsplitl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummptfzsplitl 18539
 Description: Split a group sum expressed as mapping with a finite set of sequential integers as domain into two parts, , extracting a singleton from the left. (Contributed by AV, 7-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummptfzsplit.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfzsplit.p + = (+g𝐺)
gsummptfzsplit.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsummptfzsplit.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
gsummptfzsplitl.y ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
gsummptfzsplitl (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑌)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑌)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ 𝑌))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem gsummptfzsplitl
StepHypRef Expression
1 gsummptfzsplit.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsummptfzsplit.p . 2 + = (+g𝐺)
3 gsummptfzsplit.g . 2 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 fzfid 12979 . 2 (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
5 gsummptfzsplitl.y . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑌𝐵)
6 incom 3954 . . . 4 ((1...𝑁) ∩ {0}) = ({0} ∩ (1...𝑁))
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((1...𝑁) ∩ {0}) = ({0} ∩ (1...𝑁)))
8 1e0p1 11753 . . . . . 6 1 = (0 + 1)
98oveq1i 6802 . . . . 5 (1...𝑁) = ((0 + 1)...𝑁)
109a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (1...𝑁) = ((0 + 1)...𝑁))
1110ineq2d 3963 . . 3 (𝜑 → ({0} ∩ (1...𝑁)) = ({0} ∩ ((0 + 1)...𝑁)))
12 gsummptfzsplit.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
13 elnn0uz 11926 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0))
1413biimpi 206 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0))
15 fzpreddisj 12596 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → ({0} ∩ ((0 + 1)...𝑁)) = ∅)
1612, 14, 153syl 18 . . 3 (𝜑 → ({0} ∩ ((0 + 1)...𝑁)) = ∅)
177, 11, 163eqtrd 2808 . 2 (𝜑 → ((1...𝑁) ∩ {0}) = ∅)
18 fzpred 12595 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → (0...𝑁) = ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑁)))
1912, 14, 183syl 18 . . 3 (𝜑 → (0...𝑁) = ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑁)))
20 uncom 3906 . . . 4 ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑁)) = (((0 + 1)...𝑁) ∪ {0})
21 0p1e1 11333 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
2221oveq1i 6802 . . . . 5 ((0 + 1)...𝑁) = (1...𝑁)
2322uneq1i 3912 . . . 4 (((0 + 1)...𝑁) ∪ {0}) = ((1...𝑁) ∪ {0})
2420, 23eqtri 2792 . . 3 ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑁)) = ((1...𝑁) ∪ {0})
2519, 24syl6eq 2820 . 2 (𝜑 → (0...𝑁) = ((1...𝑁) ∪ {0}))
261, 2, 3, 4, 5, 17, 25gsummptfidmsplit 18536 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑌)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑌)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ 𝑌))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1630   ∈ wcel 2144   ∪ cun 3719   ∩ cin 3720  ∅c0 4061  {csn 4314   ↦ cmpt 4861  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  0cc0 10137  1c1 10138   + caddc 10140  ℕ0cn0 11493  ℤ≥cuz 11887  ...cfz 12532  Basecbs 16063  +gcplusg 16148   Σg cgsu 16308  CMndccmn 18399 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-iin 4655  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-supp 7446  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fsupp 8431  df-oi 8570  df-card 8964  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13008  df-hash 13321  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-mre 16453  df-mrc 16454  df-acs 16456  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-submnd 17543  df-cntz 17956  df-cmn 18401 This theorem is referenced by:  srgbinomlem4  18750  chfacfscmulgsum  20884  chfacfpmmulgsum  20888  cpmadugsumlemF  20900
 Copyright terms: Public domain W3C validator