MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummptfssub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummptfssub 18555
Description: The difference of two group sums expressed as mappings. (Contributed by AV, 7-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummptfssub.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfssub.z 0 = (0g𝐺)
gsummptfssub.s = (-g𝐺)
gsummptfssub.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
gsummptfssub.a (𝜑𝐴𝑉)
gsummptfssub.c ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝐵)
gsummptfssub.d ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐷𝐵)
gsummptfssub.f (𝜑𝐹 = (𝑥𝐴𝐶))
gsummptfssub.h (𝜑𝐻 = (𝑥𝐴𝐷))
gsummptfssub.w (𝜑𝐹 finSupp 0 )
gsummptfssub.v (𝜑𝐻 finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsummptfssub (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) (𝐺 Σg 𝐻)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥,
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑉(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem gsummptfssub
StepHypRef Expression
1 gsummptfssub.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
2 gsummptfssub.c . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝐵)
3 gsummptfssub.d . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐷𝐵)
4 gsummptfssub.f . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐴𝐶))
5 gsummptfssub.h . . . . 5 (𝜑𝐻 = (𝑥𝐴𝐷))
61, 2, 3, 4, 5offval2 7060 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑓 𝐻) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 𝐷)))
76eqcomd 2776 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 𝐷)) = (𝐹𝑓 𝐻))
87oveq2d 6808 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 𝐷))) = (𝐺 Σg (𝐹𝑓 𝐻)))
9 gsummptfssub.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
10 gsummptfssub.z . . 3 0 = (0g𝐺)
11 gsummptfssub.s . . 3 = (-g𝐺)
12 gsummptfssub.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
13 eqid 2770 . . . . 5 (𝑥𝐴𝐶) = (𝑥𝐴𝐶)
142, 13fmptd 6527 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶):𝐴𝐵)
154feq1d 6170 . . . 4 (𝜑 → (𝐹:𝐴𝐵 ↔ (𝑥𝐴𝐶):𝐴𝐵))
1614, 15mpbird 247 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
17 eqid 2770 . . . . 5 (𝑥𝐴𝐷) = (𝑥𝐴𝐷)
183, 17fmptd 6527 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐷):𝐴𝐵)
195feq1d 6170 . . . 4 (𝜑 → (𝐻:𝐴𝐵 ↔ (𝑥𝐴𝐷):𝐴𝐵))
2018, 19mpbird 247 . . 3 (𝜑𝐻:𝐴𝐵)
21 gsummptfssub.w . . 3 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
22 gsummptfssub.v . . 3 (𝜑𝐻 finSupp 0 )
239, 10, 11, 12, 1, 16, 20, 21, 22gsumsub 18554 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝑓 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) (𝐺 Σg 𝐻)))
248, 23eqtrd 2804 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) (𝐺 Σg 𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144   class class class wbr 4784  cmpt 4861  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6792  𝑓 cof 7041   finSupp cfsupp 8430  Basecbs 16063  0gc0g 16307   Σg cgsu 16308  -gcsg 17631  Abelcabl 18400
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-supp 7446  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fsupp 8431  df-oi 8570  df-card 8964  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13008  df-hash 13321  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-mhm 17542  df-submnd 17543  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-sbg 17634  df-ghm 17865  df-cntz 17956  df-cmn 18401  df-abl 18402
This theorem is referenced by:  gsummptfidmsub  18556
  Copyright terms: Public domain W3C validator