Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsummpt2co Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummpt2co 30111
Description: Split a finite sum into a sum of a collection of sums over disjoint subsets. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummpt2co.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
gsummpt2co.z 0 = (0g𝑊)
gsummpt2co.w (𝜑𝑊 ∈ CMnd)
gsummpt2co.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
gsummpt2co.e (𝜑𝐸𝑉)
gsummpt2co.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝐵)
gsummpt2co.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐷𝐸)
gsummpt2co.3 𝐹 = (𝑥𝐴𝐷)
Assertion
Ref Expression
gsummpt2co (𝜑 → (𝑊 Σg (𝑥𝐴𝐶)) = (𝑊 Σg (𝑦𝐸 ↦ (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑦}) ↦ 𝐶)))))
Distinct variable groups:   𝑥, 0 ,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝐶   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑦,𝑉   𝑥,𝑊,𝑦   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem gsummpt2co
Dummy variables 𝑧 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcsb1v 3691 . . . 4 𝑥(2nd𝑝) / 𝑥𝐶
2 gsummpt2co.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑊)
3 gsummpt2co.z . . . 4 0 = (0g𝑊)
4 csbeq1a 3684 . . . 4 (𝑥 = (2nd𝑝) → 𝐶 = (2nd𝑝) / 𝑥𝐶)
5 gsummpt2co.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ CMnd)
6 gsummpt2co.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
7 ssid 3766 . . . . 5 𝐵𝐵
87a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐵𝐵)
9 gsummpt2co.1 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝐵)
10 elcnv 5455 . . . . . 6 (𝑝𝐹 ↔ ∃𝑧𝑥(𝑝 = ⟨𝑧, 𝑥⟩ ∧ 𝑥𝐹𝑧))
11 vex 3344 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ V
12 vex 3344 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
1311, 12op2ndd 7346 . . . . . . . . 9 (𝑝 = ⟨𝑧, 𝑥⟩ → (2nd𝑝) = 𝑥)
1413adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝑝 = ⟨𝑧, 𝑥⟩ ∧ 𝑥𝐹𝑧) → (2nd𝑝) = 𝑥)
15 gsummpt2co.3 . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (𝑥𝐴𝐷)
1615dmmptss 5793 . . . . . . . . . 10 dom 𝐹𝐴
1712, 11breldm 5485 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐹𝑧𝑥 ∈ dom 𝐹)
1816, 17sseldi 3743 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐹𝑧𝑥𝐴)
1918adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝑝 = ⟨𝑧, 𝑥⟩ ∧ 𝑥𝐹𝑧) → 𝑥𝐴)
2014, 19eqeltrd 2840 . . . . . . 7 ((𝑝 = ⟨𝑧, 𝑥⟩ ∧ 𝑥𝐹𝑧) → (2nd𝑝) ∈ 𝐴)
2120exlimivv 2010 . . . . . 6 (∃𝑧𝑥(𝑝 = ⟨𝑧, 𝑥⟩ ∧ 𝑥𝐹𝑧) → (2nd𝑝) ∈ 𝐴)
2210, 21sylbi 207 . . . . 5 (𝑝𝐹 → (2nd𝑝) ∈ 𝐴)
2322adantl 473 . . . 4 ((𝜑𝑝𝐹) → (2nd𝑝) ∈ 𝐴)
2415funmpt2 6089 . . . . . . 7 Fun 𝐹
25 funcnvcnv 6118 . . . . . . 7 (Fun 𝐹 → Fun 𝐹)
2624, 25ax-mp 5 . . . . . 6 Fun 𝐹
2726a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → Fun 𝐹)
28 dfdm4 5472 . . . . . . . 8 dom 𝐹 = ran 𝐹
2915dmeqi 5481 . . . . . . . . 9 dom 𝐹 = dom (𝑥𝐴𝐷)
30 gsummpt2co.2 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐷𝐸)
3130ralrimiva 3105 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐷𝐸)
32 dmmptg 5794 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥𝐴 𝐷𝐸 → dom (𝑥𝐴𝐷) = 𝐴)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐷) = 𝐴)
3429, 33syl5eq 2807 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
3528, 34syl5eqr 2809 . . . . . . 7 (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐴)
3635eleq2d 2826 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ran 𝐹𝑥𝐴))
3736biimpar 503 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ran 𝐹)
38 relcnv 5662 . . . . . 6 Rel 𝐹
39 fcnvgreu 29803 . . . . . 6 (((Rel 𝐹 ∧ Fun 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐹) → ∃!𝑝 𝐹𝑥 = (2nd𝑝))
4038, 39mpanl1 718 . . . . 5 ((Fun 𝐹𝑥 ∈ ran 𝐹) → ∃!𝑝 𝐹𝑥 = (2nd𝑝))
4127, 37, 40syl2anc 696 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃!𝑝 𝐹𝑥 = (2nd𝑝))
421, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 23, 41gsummptf1o 18583 . . 3 (𝜑 → (𝑊 Σg (𝑥𝐴𝐶)) = (𝑊 Σg (𝑝𝐹(2nd𝑝) / 𝑥𝐶)))
4315rnmptss 6557 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝐴 𝐷𝐸 → ran 𝐹𝐸)
4431, 43syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ran 𝐹𝐸)
45 dfcnv2 29807 . . . . . . 7 (ran 𝐹𝐸𝐹 = 𝑧𝐸 ({𝑧} × (𝐹 “ {𝑧})))
4644, 45syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = 𝑧𝐸 ({𝑧} × (𝐹 “ {𝑧})))
4746mpteq1d 4891 . . . . 5 (𝜑 → (𝑝𝐹(2nd𝑝) / 𝑥𝐶) = (𝑝 𝑧𝐸 ({𝑧} × (𝐹 “ {𝑧})) ↦ (2nd𝑝) / 𝑥𝐶))
48 nfcv 2903 . . . . . 6 𝑧(2nd𝑝) / 𝑥𝐶
49 csbeq1 3678 . . . . . . . 8 ((2nd𝑝) = 𝑥(2nd𝑝) / 𝑥𝐶 = 𝑥 / 𝑥𝐶)
5013, 49syl 17 . . . . . . 7 (𝑝 = ⟨𝑧, 𝑥⟩ → (2nd𝑝) / 𝑥𝐶 = 𝑥 / 𝑥𝐶)
51 csbid 3683 . . . . . . 7 𝑥 / 𝑥𝐶 = 𝐶
5250, 51syl6eq 2811 . . . . . 6 (𝑝 = ⟨𝑧, 𝑥⟩ → (2nd𝑝) / 𝑥𝐶 = 𝐶)
5348, 1, 52mpt2mptxf 29808 . . . . 5 (𝑝 𝑧𝐸 ({𝑧} × (𝐹 “ {𝑧})) ↦ (2nd𝑝) / 𝑥𝐶) = (𝑧𝐸, 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑧}) ↦ 𝐶)
5447, 53syl6eq 2811 . . . 4 (𝜑 → (𝑝𝐹(2nd𝑝) / 𝑥𝐶) = (𝑧𝐸, 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑧}) ↦ 𝐶))
5554oveq2d 6831 . . 3 (𝜑 → (𝑊 Σg (𝑝𝐹(2nd𝑝) / 𝑥𝐶)) = (𝑊 Σg (𝑧𝐸, 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑧}) ↦ 𝐶)))
56 gsummpt2co.e . . . 4 (𝜑𝐸𝑉)
57 mptfi 8433 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Fin → (𝑥𝐴𝐷) ∈ Fin)
5815, 57syl5eqel 2844 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → 𝐹 ∈ Fin)
59 cnvfi 8416 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Fin → 𝐹 ∈ Fin)
606, 58, 593syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ Fin)
61 imaexg 7270 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Fin → (𝐹 “ {𝑧}) ∈ V)
6260, 61syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 “ {𝑧}) ∈ V)
6362adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑧𝐸) → (𝐹 “ {𝑧}) ∈ V)
64 simpll 807 . . . . . 6 (((𝜑𝑧𝐸) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑧})) → 𝜑)
65 imassrn 5636 . . . . . . . . 9 (𝐹 “ {𝑧}) ⊆ ran 𝐹
6665, 28sseqtr4i 3780 . . . . . . . 8 (𝐹 “ {𝑧}) ⊆ dom 𝐹
6766, 16sstri 3754 . . . . . . 7 (𝐹 “ {𝑧}) ⊆ 𝐴
6811, 12elimasn 5649 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑧}) ↔ ⟨𝑧, 𝑥⟩ ∈ 𝐹)
6968biimpi 206 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑧}) → ⟨𝑧, 𝑥⟩ ∈ 𝐹)
7069adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐸) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑧})) → ⟨𝑧, 𝑥⟩ ∈ 𝐹)
7170, 68sylibr 224 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝐸) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑧})) → 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑧}))
7267, 71sseldi 3743 . . . . . 6 (((𝜑𝑧𝐸) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑧})) → 𝑥𝐴)
7364, 72, 9syl2anc 696 . . . . 5 (((𝜑𝑧𝐸) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑧})) → 𝐶𝐵)
7473anasss 682 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐸𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑧}))) → 𝐶𝐵)
75 df-br 4806 . . . . . . . . 9 (𝑧𝐹𝑥 ↔ ⟨𝑧, 𝑥⟩ ∈ 𝐹)
7670, 75sylibr 224 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐸) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑧})) → 𝑧𝐹𝑥)
7776anasss 682 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐸𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑧}))) → 𝑧𝐹𝑥)
7877pm2.24d 147 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐸𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑧}))) → (¬ 𝑧𝐹𝑥𝐶 = 0 ))
7978imp 444 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐸𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑧}))) ∧ ¬ 𝑧𝐹𝑥) → 𝐶 = 0 )
8079anasss 682 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑧𝐸𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑧})) ∧ ¬ 𝑧𝐹𝑥)) → 𝐶 = 0 )
812, 3, 5, 56, 63, 74, 60, 80gsum2d2 18594 . . 3 (𝜑 → (𝑊 Σg (𝑧𝐸, 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑧}) ↦ 𝐶)) = (𝑊 Σg (𝑧𝐸 ↦ (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑧}) ↦ 𝐶)))))
8242, 55, 813eqtrd 2799 . 2 (𝜑 → (𝑊 Σg (𝑥𝐴𝐶)) = (𝑊 Σg (𝑧𝐸 ↦ (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑧}) ↦ 𝐶)))))
83 nfcv 2903 . . . 4 𝑧(𝑊 Σg (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑦}) ↦ 𝐶))
84 nfcv 2903 . . . 4 𝑦(𝑊 Σg (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑧}) ↦ 𝐶))
85 sneq 4332 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → {𝑦} = {𝑧})
8685imaeq2d 5625 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑧 → (𝐹 “ {𝑦}) = (𝐹 “ {𝑧}))
8786mpteq1d 4891 . . . . 5 (𝑦 = 𝑧 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑦}) ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑧}) ↦ 𝐶))
8887oveq2d 6831 . . . 4 (𝑦 = 𝑧 → (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑦}) ↦ 𝐶)) = (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑧}) ↦ 𝐶)))
8983, 84, 88cbvmpt 4902 . . 3 (𝑦𝐸 ↦ (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑦}) ↦ 𝐶))) = (𝑧𝐸 ↦ (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑧}) ↦ 𝐶)))
9089oveq2i 6826 . 2 (𝑊 Σg (𝑦𝐸 ↦ (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑦}) ↦ 𝐶)))) = (𝑊 Σg (𝑧𝐸 ↦ (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑧}) ↦ 𝐶))))
9182, 90syl6eqr 2813 1 (𝜑 → (𝑊 Σg (𝑥𝐴𝐶)) = (𝑊 Σg (𝑦𝐸 ↦ (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑦}) ↦ 𝐶)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wex 1853  wcel 2140  wral 3051  ∃!wreu 3053  Vcvv 3341  csb 3675  wss 3716  {csn 4322  cop 4328   ciun 4673   class class class wbr 4805  cmpt 4882   × cxp 5265  ccnv 5266  dom cdm 5267  ran crn 5268  cima 5270  Rel wrel 5272  Fun wfun 6044  cfv 6050  (class class class)co 6815  cmpt2 6817  2nd c2nd 7334  Fincfn 8124  Basecbs 16080  0gc0g 16323   Σg cgsu 16324  CMndccmn 18414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-iin 4676  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-se 5227  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-isom 6059  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-of 7064  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-supp 7466  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-fsupp 8444  df-oi 8583  df-card 8976  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-seq 13017  df-hash 13333  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-ress 16088  df-plusg 16177  df-0g 16325  df-gsum 16326  df-mre 16469  df-mrc 16470  df-acs 16472  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517  df-submnd 17558  df-mulg 17763  df-cntz 17971  df-cmn 18416
This theorem is referenced by:  gsummpt2d  30112
  Copyright terms: Public domain W3C validator