MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummatr01lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummatr01lem4 20512
Description: Lemma 2 for gsummatr01 20513. (Contributed by AV, 8-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummatr01.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
gsummatr01.r 𝑅 = {𝑟𝑃 ∣ (𝑟𝐾) = 𝐿}
gsummatr01.0 0 = (0g𝐺)
gsummatr01.s 𝑆 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
gsummatr01lem4 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)) = (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝐴𝑗))(𝑄𝑛)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑗,𝑛   𝐵,𝑖,𝑗,𝑛   𝑖,𝐺,𝑗,𝑛   𝑖,𝐾,𝑗,𝑛   𝐾,𝑟   𝑖,𝐿,𝑗,𝑛   𝐿,𝑟   𝑖,𝑁,𝑗,𝑛   𝑃,𝑟   𝑄,𝑟   𝑄,𝑖,𝑗,𝑛   𝑅,𝑖,𝑗,𝑛   𝑆,𝑖,𝑗,𝑛   0 ,𝑖,𝑗,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑟)   𝐵(𝑟)   𝑃(𝑖,𝑗,𝑛)   𝑅(𝑟)   𝑆(𝑟)   𝐺(𝑟)   𝑁(𝑟)   0 (𝑟)

Proof of Theorem gsummatr01lem4
StepHypRef Expression
1 eqidd 2652 . . . . . . 7 ((𝑄𝑅𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗))))
2 eqeq1 2655 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑛 → (𝑖 = 𝐾𝑛 = 𝐾))
32adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑖 = 𝑛𝑗 = (𝑄𝑛)) → (𝑖 = 𝐾𝑛 = 𝐾))
4 eqeq1 2655 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = (𝑄𝑛) → (𝑗 = 𝐿 ↔ (𝑄𝑛) = 𝐿))
54adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 = 𝑛𝑗 = (𝑄𝑛)) → (𝑗 = 𝐿 ↔ (𝑄𝑛) = 𝐿))
65ifbid 4141 . . . . . . . . 9 ((𝑖 = 𝑛𝑗 = (𝑄𝑛)) → if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵) = if((𝑄𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵))
7 oveq12 6699 . . . . . . . . 9 ((𝑖 = 𝑛𝑗 = (𝑄𝑛)) → (𝑖𝐴𝑗) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
83, 6, 7ifbieq12d 4146 . . . . . . . 8 ((𝑖 = 𝑛𝑗 = (𝑄𝑛)) → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)) = if(𝑛 = 𝐾, if((𝑄𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑛𝐴(𝑄𝑛))))
9 eldifsni 4353 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑛𝐾)
109neneqd 2828 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ¬ 𝑛 = 𝐾)
1110iffalsed 4130 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → if(𝑛 = 𝐾, if((𝑄𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑛𝐴(𝑄𝑛))) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
1211adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑄𝑅𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → if(𝑛 = 𝐾, if((𝑄𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑛𝐴(𝑄𝑛))) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
138, 12sylan9eqr 2707 . . . . . . 7 (((𝑄𝑅𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝑖 = 𝑛𝑗 = (𝑄𝑛))) → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
14 eldifi 3765 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑛𝑁)
1514adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑄𝑅𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → 𝑛𝑁)
16 gsummatr01.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
17 gsummatr01.r . . . . . . . . 9 𝑅 = {𝑟𝑃 ∣ (𝑟𝐾) = 𝐿}
1816, 17gsummatr01lem1 20509 . . . . . . . 8 ((𝑄𝑅𝑛𝑁) → (𝑄𝑛) ∈ 𝑁)
1914, 18sylan2 490 . . . . . . 7 ((𝑄𝑅𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄𝑛) ∈ 𝑁)
20 ovexd 6720 . . . . . . 7 ((𝑄𝑅𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ V)
211, 13, 15, 19, 20ovmpt2d 6830 . . . . . 6 ((𝑄𝑅𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
2221ex 449 . . . . 5 (𝑄𝑅 → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛))))
23223ad2ant3 1104 . . . 4 ((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛))))
24233ad2ant3 1104 . . 3 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛))))
2524imp 444 . 2 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
26 eqidd 2652 . . 3 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝐴𝑗)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝐴𝑗)))
277adantl 481 . . 3 (((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝑖 = 𝑛𝑗 = (𝑄𝑛))) → (𝑖𝐴𝑗) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
28 eqidd 2652 . . 3 (((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ 𝑖 = 𝑛) → (𝑁 ∖ {𝐿}) = (𝑁 ∖ {𝐿}))
29 simpr 476 . . 3 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
30 fveq1 6228 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑄 → (𝑟𝐾) = (𝑄𝐾))
3130eqeq1d 2653 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑄 → ((𝑟𝐾) = 𝐿 ↔ (𝑄𝐾) = 𝐿))
3231, 17elrab2 3399 . . . . . . . . 9 (𝑄𝑅 ↔ (𝑄𝑃 ∧ (𝑄𝐾) = 𝐿))
33 simpll 805 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑄𝑃 ∧ (𝑄𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿𝑁𝐾𝑁)) → 𝑄𝑃)
34 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . 13 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
3534, 16symgfv 17853 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑄𝑃𝑛𝑁) → (𝑄𝑛) ∈ 𝑁)
3633, 14, 35syl2an 493 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑄𝑃 ∧ (𝑄𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿𝑁𝐾𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄𝑛) ∈ 𝑁)
3733adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑄𝑃 ∧ (𝑄𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿𝑁𝐾𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → 𝑄𝑃)
38 simplrr 818 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑄𝑃 ∧ (𝑄𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿𝑁𝐾𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → 𝐾𝑁)
3914adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑄𝑃 ∧ (𝑄𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿𝑁𝐾𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → 𝑛𝑁)
4037, 38, 393jca 1261 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑄𝑃 ∧ (𝑄𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿𝑁𝐾𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄𝑃𝐾𝑁𝑛𝑁))
41 simpllr 815 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑄𝑃 ∧ (𝑄𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿𝑁𝐾𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄𝐾) = 𝐿)
429adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑄𝑃 ∧ (𝑄𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿𝑁𝐾𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → 𝑛𝐾)
4334, 16symgfvne 17854 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑄𝑃𝐾𝑁𝑛𝑁) → ((𝑄𝐾) = 𝐿 → (𝑛𝐾 → (𝑄𝑛) ≠ 𝐿)))
4440, 41, 42, 43syl3c 66 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑄𝑃 ∧ (𝑄𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿𝑁𝐾𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄𝑛) ≠ 𝐿)
4536, 44jca 553 . . . . . . . . . 10 ((((𝑄𝑃 ∧ (𝑄𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿𝑁𝐾𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑄𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄𝑛) ≠ 𝐿))
4645exp42 638 . . . . . . . . 9 ((𝑄𝑃 ∧ (𝑄𝐾) = 𝐿) → (𝐿𝑁 → (𝐾𝑁 → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝑄𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄𝑛) ≠ 𝐿)))))
4732, 46sylbi 207 . . . . . . . 8 (𝑄𝑅 → (𝐿𝑁 → (𝐾𝑁 → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝑄𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄𝑛) ≠ 𝐿)))))
4847com13 88 . . . . . . 7 (𝐾𝑁 → (𝐿𝑁 → (𝑄𝑅 → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝑄𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄𝑛) ≠ 𝐿)))))
49483imp 1275 . . . . . 6 ((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝑄𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄𝑛) ≠ 𝐿)))
50493ad2ant3 1104 . . . . 5 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝑄𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄𝑛) ≠ 𝐿)))
5150imp 444 . . . 4 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑄𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄𝑛) ≠ 𝐿))
52 eldifsn 4350 . . . 4 ((𝑄𝑛) ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↔ ((𝑄𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄𝑛) ≠ 𝐿))
5351, 52sylibr 224 . . 3 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄𝑛) ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}))
54 ovexd 6720 . . 3 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ V)
55 nfv 1883 . . . . 5 𝑖(𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin)
56 nfra1 2970 . . . . . 6 𝑖𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆
57 nfcv 2793 . . . . . . 7 𝑖𝑆
5857nfel2 2810 . . . . . 6 𝑖 𝐵𝑆
5956, 58nfan 1868 . . . . 5 𝑖(∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆)
60 nfv 1883 . . . . 5 𝑖(𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)
6155, 59, 60nf3an 1871 . . . 4 𝑖((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅))
62 nfcv 2793 . . . . 5 𝑖(𝑁 ∖ {𝐾})
6362nfel2 2810 . . . 4 𝑖 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})
6461, 63nfan 1868 . . 3 𝑖(((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
65 nfv 1883 . . . . 5 𝑗(𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin)
66 nfra2 2975 . . . . . 6 𝑗𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆
67 nfcv 2793 . . . . . . 7 𝑗𝑆
6867nfel2 2810 . . . . . 6 𝑗 𝐵𝑆
6966, 68nfan 1868 . . . . 5 𝑗(∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆)
70 nfv 1883 . . . . 5 𝑗(𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)
7165, 69, 70nf3an 1871 . . . 4 𝑗((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅))
72 nfcv 2793 . . . . 5 𝑗(𝑁 ∖ {𝐾})
7372nfel2 2810 . . . 4 𝑗 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})
7471, 73nfan 1868 . . 3 𝑗(((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
75 nfcv 2793 . . 3 𝑗𝑛
76 nfcv 2793 . . 3 𝑖(𝑄𝑛)
77 nfcv 2793 . . 3 𝑖(𝑛𝐴(𝑄𝑛))
78 nfcv 2793 . . 3 𝑗(𝑛𝐴(𝑄𝑛))
7926, 27, 28, 29, 53, 54, 64, 74, 75, 76, 77, 78ovmpt2dxf 6828 . 2 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝐴𝑗))(𝑄𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
8025, 79eqtr4d 2688 1 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)) = (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝐴𝑗))(𝑄𝑛)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  {crab 2945  Vcvv 3231  cdif 3604  ifcif 4119  {csn 4210  cfv 5926  (class class class)co 6690  cmpt2 6692  Fincfn 7997  Basecbs 15904  0gc0g 16147  SymGrpcsymg 17843  CMndccmn 18239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-plusg 16001  df-tset 16007  df-symg 17844
This theorem is referenced by:  gsummatr01  20513
  Copyright terms: Public domain W3C validator