MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummatr01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummatr01 20513
Description: Lemma 1 for smadiadetlem4 20523. (Contributed by AV, 8-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummatr01.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
gsummatr01.r 𝑅 = {𝑟𝑃 ∣ (𝑟𝐾) = 𝐿}
gsummatr01.0 0 = (0g𝐺)
gsummatr01.s 𝑆 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
gsummatr01 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑛𝑁 ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)))) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝐴𝑗))(𝑄𝑛)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑗,𝑛   𝐵,𝑖,𝑗,𝑛   𝑖,𝐺,𝑗,𝑛   𝑖,𝐾,𝑗,𝑛   𝐾,𝑟   𝑖,𝐿,𝑗,𝑛   𝐿,𝑟   𝑖,𝑁,𝑗,𝑛   𝑃,𝑟   𝑄,𝑟   𝑄,𝑖,𝑗,𝑛   𝑅,𝑖,𝑗,𝑛   𝑆,𝑖,𝑗,𝑛   0 ,𝑖,𝑗,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑟)   𝐵(𝑟)   𝑃(𝑖,𝑗,𝑛)   𝑅(𝑟)   𝑆(𝑟)   𝐺(𝑟)   𝑁(𝑟)   0 (𝑟)

Proof of Theorem gsummatr01
StepHypRef Expression
1 difsnid 4373 . . . . . . 7 (𝐾𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) = 𝑁)
21eqcomd 2657 . . . . . 6 (𝐾𝑁𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}))
323ad2ant1 1102 . . . . 5 ((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) → 𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}))
433ad2ant3 1104 . . . 4 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → 𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}))
54mpteq1d 4771 . . 3 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝑛𝑁 ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛))) = (𝑛 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛))))
65oveq2d 6706 . 2 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑛𝑁 ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)))) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)))))
7 gsummatr01.p . . 3 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
8 gsummatr01.r . . 3 𝑅 = {𝑟𝑃 ∣ (𝑟𝐾) = 𝐿}
9 gsummatr01.0 . . 3 0 = (0g𝐺)
10 gsummatr01.s . . 3 𝑆 = (Base‘𝐺)
117, 8, 9, 10gsummatr01lem3 20511 . 2 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)))) = ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛))))(+g𝐺)(𝐾(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝐾))))
12 eqidd 2652 . . . . . 6 ((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗))))
13 fveq1 6228 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑄 → (𝑟𝐾) = (𝑄𝐾))
1413eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑄 → ((𝑟𝐾) = 𝐿 ↔ (𝑄𝐾) = 𝐿))
1514, 8elrab2 3399 . . . . . . . . . 10 (𝑄𝑅 ↔ (𝑄𝑃 ∧ (𝑄𝐾) = 𝐿))
16 eqeq2 2662 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑄𝐾) = 𝐿 → (𝑗 = (𝑄𝐾) ↔ 𝑗 = 𝐿))
1716adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑄𝑃 ∧ (𝑄𝐾) = 𝐿) → (𝑗 = (𝑄𝐾) ↔ 𝑗 = 𝐿))
1817anbi2d 740 . . . . . . . . . 10 ((𝑄𝑃 ∧ (𝑄𝐾) = 𝐿) → ((𝑖 = 𝐾𝑗 = (𝑄𝐾)) ↔ (𝑖 = 𝐾𝑗 = 𝐿)))
1915, 18sylbi 207 . . . . . . . . 9 (𝑄𝑅 → ((𝑖 = 𝐾𝑗 = (𝑄𝐾)) ↔ (𝑖 = 𝐾𝑗 = 𝐿)))
20193ad2ant3 1104 . . . . . . . 8 ((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) → ((𝑖 = 𝐾𝑗 = (𝑄𝐾)) ↔ (𝑖 = 𝐾𝑗 = 𝐿)))
21 iftrue 4125 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝐾 → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)) = if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵))
22 iftrue 4125 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝐿 → if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵) = 0 )
2321, 22sylan9eq 2705 . . . . . . . 8 ((𝑖 = 𝐾𝑗 = 𝐿) → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)) = 0 )
2420, 23syl6bi 243 . . . . . . 7 ((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) → ((𝑖 = 𝐾𝑗 = (𝑄𝐾)) → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)) = 0 ))
2524imp 444 . . . . . 6 (((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) ∧ (𝑖 = 𝐾𝑗 = (𝑄𝐾))) → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)) = 0 )
26 simp1 1081 . . . . . 6 ((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) → 𝐾𝑁)
277, 8gsummatr01lem1 20509 . . . . . . . 8 ((𝑄𝑅𝐾𝑁) → (𝑄𝐾) ∈ 𝑁)
2827ancoms 468 . . . . . . 7 ((𝐾𝑁𝑄𝑅) → (𝑄𝐾) ∈ 𝑁)
29283adant2 1100 . . . . . 6 ((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) → (𝑄𝐾) ∈ 𝑁)
30 fvex 6239 . . . . . . . 8 (0g𝐺) ∈ V
319, 30eqeltri 2726 . . . . . . 7 0 ∈ V
3231a1i 11 . . . . . 6 ((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) → 0 ∈ V)
3312, 25, 26, 29, 32ovmpt2d 6830 . . . . 5 ((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) → (𝐾(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝐾)) = 0 )
34333ad2ant3 1104 . . . 4 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝐾(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝐾)) = 0 )
3534oveq2d 6706 . . 3 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛))))(+g𝐺)(𝐾(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝐾))) = ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛))))(+g𝐺) 0 ))
36 cmnmnd 18254 . . . . . 6 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
3736adantr 480 . . . . 5 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ Mnd)
38373ad2ant1 1102 . . . 4 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → 𝐺 ∈ Mnd)
39 eqid 2651 . . . . 5 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
40 simp1l 1105 . . . . 5 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → 𝐺 ∈ CMnd)
41 diffi 8233 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
4241adantl 481 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
43423ad2ant1 1102 . . . . 5 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
44 eqidd 2652 . . . . . . . . 9 (((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗))))
45 eqeq1 2655 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑛 → (𝑖 = 𝐾𝑛 = 𝐾))
4645adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖 = 𝑛𝑗 = (𝑄𝑛)) → (𝑖 = 𝐾𝑛 = 𝐾))
47 eqeq1 2655 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = (𝑄𝑛) → (𝑗 = 𝐿 ↔ (𝑄𝑛) = 𝐿))
4847ifbid 4141 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = (𝑄𝑛) → if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵) = if((𝑄𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵))
4948adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖 = 𝑛𝑗 = (𝑄𝑛)) → if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵) = if((𝑄𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵))
50 oveq12 6699 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖 = 𝑛𝑗 = (𝑄𝑛)) → (𝑖𝐴𝑗) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
5146, 49, 50ifbieq12d 4146 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 = 𝑛𝑗 = (𝑄𝑛)) → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)) = if(𝑛 = 𝐾, if((𝑄𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑛𝐴(𝑄𝑛))))
52 eldifsni 4353 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑛𝐾)
5352neneqd 2828 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ¬ 𝑛 = 𝐾)
5453iffalsed 4130 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → if(𝑛 = 𝐾, if((𝑄𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑛𝐴(𝑄𝑛))) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
5554adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → if(𝑛 = 𝐾, if((𝑄𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑛𝐴(𝑄𝑛))) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
5651, 55sylan9eqr 2707 . . . . . . . . 9 ((((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝑖 = 𝑛𝑗 = (𝑄𝑛))) → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
57 eldifi 3765 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑛𝑁)
5857adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → 𝑛𝑁)
59 simp3 1083 . . . . . . . . . 10 ((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) → 𝑄𝑅)
607, 8gsummatr01lem1 20509 . . . . . . . . . 10 ((𝑄𝑅𝑛𝑁) → (𝑄𝑛) ∈ 𝑁)
6159, 57, 60syl2an 493 . . . . . . . . 9 (((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄𝑛) ∈ 𝑁)
62 ovexd 6720 . . . . . . . . 9 (((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ V)
6344, 56, 58, 61, 62ovmpt2d 6830 . . . . . . . 8 (((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
64633ad2antl3 1245 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
6510eleq2i 2722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ↔ (𝑖𝐴𝑗) ∈ (Base‘𝐺))
66652ralbii 3010 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ (Base‘𝐺))
677, 8gsummatr01lem2 20510 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑄𝑅𝑛𝑁) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ (Base‘𝐺) → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ (Base‘𝐺)))
6866, 67syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑄𝑅𝑛𝑁) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ (Base‘𝐺)))
6959, 57, 68syl2anr 494 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ (Base‘𝐺)))
7069ex 449 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ (Base‘𝐺))))
7170com13 88 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 → ((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ (Base‘𝐺))))
7271adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) → ((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ (Base‘𝐺))))
7372imp 444 . . . . . . . . 9 (((∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ (Base‘𝐺)))
74733adant1 1099 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ (Base‘𝐺)))
7574imp 444 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ (Base‘𝐺))
7664, 75eqeltrd 2730 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)) ∈ (Base‘𝐺))
7776ralrimiva 2995 . . . . 5 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → ∀𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)) ∈ (Base‘𝐺))
7839, 40, 43, 77gsummptcl 18412 . . . 4 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)))) ∈ (Base‘𝐺))
79 eqid 2651 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
8039, 79, 9mndrid 17359 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)))) ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛))))(+g𝐺) 0 ) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)))))
8138, 78, 80syl2anc 694 . . 3 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛))))(+g𝐺) 0 ) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)))))
827, 8, 9, 10gsummatr01lem4 20512 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)) = (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝐴𝑗))(𝑄𝑛)))
8382mpteq2dva 4777 . . . 4 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛))) = (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝐴𝑗))(𝑄𝑛))))
8483oveq2d 6706 . . 3 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)))) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝐴𝑗))(𝑄𝑛)))))
8535, 81, 843eqtrd 2689 . 2 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛))))(+g𝐺)(𝐾(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝐾))) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝐴𝑗))(𝑄𝑛)))))
866, 11, 853eqtrd 2689 1 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑛𝑁 ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)))) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝐴𝑗))(𝑄𝑛)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  {crab 2945  Vcvv 3231  cdif 3604  cun 3605  ifcif 4119  {csn 4210  cmpt 4762  cfv 5926  (class class class)co 6690  cmpt2 6692  Fincfn 7997  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  0gc0g 16147   Σg cgsu 16148  Mndcmnd 17341  SymGrpcsymg 17843  CMndccmn 18239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-tset 16007  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-symg 17844  df-cmn 18241
This theorem is referenced by:  smadiadetlem4  20523
  Copyright terms: Public domain W3C validator