MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumcom3fi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumcom3fi 20443
Description: A commutative law for finite iterated sums. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumcom3fi.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumcom3fi.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsumcom3fi.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
gsumcom3fi.r (𝜑𝐶 ∈ Fin)
gsumcom3fi.f ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶)) → 𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
gsumcom3fi (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘𝐶𝑋)))) = (𝐺 Σg (𝑘𝐶 ↦ (𝐺 Σg (𝑗𝐴𝑋)))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝐵,𝑗,𝑘   𝐶,𝑗,𝑘   𝑗,𝐺,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑋(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem gsumcom3fi
StepHypRef Expression
1 gsumcom3fi.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2774 . 2 (0g𝐺) = (0g𝐺)
3 gsumcom3fi.g . 2 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 gsumcom3fi.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
5 gsumcom3fi.r . 2 (𝜑𝐶 ∈ Fin)
6 gsumcom3fi.f . 2 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶)) → 𝑋𝐵)
7 xpfi 8408 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐶) ∈ Fin)
84, 5, 7syl2anc 574 . 2 (𝜑 → (𝐴 × 𝐶) ∈ Fin)
9 brxp 5299 . . . . . 6 (𝑗(𝐴 × 𝐶)𝑘 ↔ (𝑗𝐴𝑘𝐶))
109biimpri 219 . . . . 5 ((𝑗𝐴𝑘𝐶) → 𝑗(𝐴 × 𝐶)𝑘)
1110adantl 468 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶)) → 𝑗(𝐴 × 𝐶)𝑘)
1211pm2.24d 148 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶)) → (¬ 𝑗(𝐴 × 𝐶)𝑘𝑋 = (0g𝐺)))
1312impr 443 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝑗𝐴𝑘𝐶) ∧ ¬ 𝑗(𝐴 × 𝐶)𝑘)) → 𝑋 = (0g𝐺))
141, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 13gsumcom3 20442 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘𝐶𝑋)))) = (𝐺 Σg (𝑘𝐶 ↦ (𝐺 Σg (𝑗𝐴𝑋)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1634  wcel 2148   class class class wbr 4797  cmpt 4876   × cxp 5261  cfv 6042  (class class class)co 6812  Fincfn 8130  Basecbs 16084  0gc0g 16328   Σg cgsu 16329  CMndccmn 18420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1873  ax-4 1888  ax-5 1994  ax-6 2060  ax-7 2096  ax-8 2150  ax-9 2157  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2206  ax-13 2411  ax-ext 2754  ax-rep 4917  ax-sep 4928  ax-nul 4936  ax-pow 4988  ax-pr 5048  ax-un 7117  ax-inf2 8723  ax-cnex 10215  ax-resscn 10216  ax-1cn 10217  ax-icn 10218  ax-addcl 10219  ax-addrcl 10220  ax-mulcl 10221  ax-mulrcl 10222  ax-mulcom 10223  ax-addass 10224  ax-mulass 10225  ax-distr 10226  ax-i2m1 10227  ax-1ne0 10228  ax-1rid 10229  ax-rnegex 10230  ax-rrecex 10231  ax-cnre 10232  ax-pre-lttri 10233  ax-pre-lttrn 10234  ax-pre-ltadd 10235  ax-pre-mulgt0 10236
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 384  df-or 864  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1637  df-ex 1856  df-nf 1861  df-sb 2053  df-eu 2625  df-mo 2626  df-clab 2761  df-cleq 2767  df-clel 2770  df-nfc 2905  df-ne 2947  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3357  df-sbc 3594  df-csb 3689  df-dif 3732  df-un 3734  df-in 3736  df-ss 3743  df-pss 3745  df-nul 4074  df-if 4236  df-pw 4309  df-sn 4327  df-pr 4329  df-tp 4331  df-op 4333  df-uni 4586  df-int 4623  df-iun 4667  df-iin 4668  df-br 4798  df-opab 4860  df-mpt 4877  df-tr 4900  df-id 5171  df-eprel 5176  df-po 5184  df-so 5185  df-fr 5222  df-se 5223  df-we 5224  df-xp 5269  df-rel 5270  df-cnv 5271  df-co 5272  df-dm 5273  df-rn 5274  df-res 5275  df-ima 5276  df-pred 5834  df-ord 5880  df-on 5881  df-lim 5882  df-suc 5883  df-iota 6005  df-fun 6044  df-fn 6045  df-f 6046  df-f1 6047  df-fo 6048  df-f1o 6049  df-fv 6050  df-isom 6051  df-riota 6773  df-ov 6815  df-oprab 6816  df-mpt2 6817  df-of 7065  df-om 7234  df-1st 7336  df-2nd 7337  df-supp 7468  df-wrecs 7580  df-recs 7642  df-rdg 7680  df-1o 7734  df-oadd 7738  df-er 7917  df-en 8131  df-dom 8132  df-sdom 8133  df-fin 8134  df-fsupp 8453  df-oi 8592  df-card 8986  df-pnf 10299  df-mnf 10300  df-xr 10301  df-ltxr 10302  df-le 10303  df-sub 10491  df-neg 10492  df-nn 11244  df-2 11302  df-n0 11517  df-z 11602  df-uz 11911  df-fz 12556  df-fzo 12696  df-seq 13031  df-hash 13344  df-ndx 16087  df-slot 16088  df-base 16090  df-sets 16091  df-ress 16092  df-plusg 16182  df-0g 16330  df-gsum 16331  df-mre 16474  df-mrc 16475  df-acs 16477  df-mgm 17470  df-sgrp 17512  df-mnd 17523  df-submnd 17564  df-mulg 17769  df-cntz 17977  df-cmn 18422
This theorem is referenced by:  mamuass  20445  mavmulass  20593  decpmatmul  20817
  Copyright terms: Public domain W3C validator