MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumadd 18530
Description: The sum of two group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 5-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumadd.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumadd.z 0 = (0g𝐺)
gsumadd.p + = (+g𝐺)
gsumadd.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsumadd.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumadd.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
gsumadd.h (𝜑𝐻:𝐴𝐵)
gsumadd.fn (𝜑𝐹 finSupp 0 )
gsumadd.hn (𝜑𝐻 finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsumadd (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝑓 + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))

Proof of Theorem gsumadd
StepHypRef Expression
1 gsumadd.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumadd.z . 2 0 = (0g𝐺)
3 gsumadd.p . 2 + = (+g𝐺)
4 eqid 2771 . 2 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
5 gsumadd.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
6 cmnmnd 18415 . . 3 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
75, 6syl 17 . 2 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
8 gsumadd.a . 2 (𝜑𝐴𝑉)
9 gsumadd.fn . 2 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
10 gsumadd.hn . 2 (𝜑𝐻 finSupp 0 )
111submid 17559 . . 3 (𝐺 ∈ Mnd → 𝐵 ∈ (SubMnd‘𝐺))
127, 11syl 17 . 2 (𝜑𝐵 ∈ (SubMnd‘𝐺))
13 ssid 3773 . . 3 𝐵𝐵
141, 4cntzcmn 18452 . . . 4 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐵𝐵) → ((Cntz‘𝐺)‘𝐵) = 𝐵)
155, 13, 14sylancl 574 . . 3 (𝜑 → ((Cntz‘𝐺)‘𝐵) = 𝐵)
1613, 15syl5sseqr 3803 . 2 (𝜑𝐵 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘𝐵))
17 gsumadd.f . 2 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
18 gsumadd.h . 2 (𝜑𝐻:𝐴𝐵)
191, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 12, 16, 17, 18gsumzadd 18529 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝑓 + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  wss 3723   class class class wbr 4786  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  𝑓 cof 7042   finSupp cfsupp 8431  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  0gc0g 16308   Σg cgsu 16309  Mndcmnd 17502  SubMndcsubmnd 17542  Cntzccntz 17955  CMndccmn 18400
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-cntz 17957  df-cmn 18402
This theorem is referenced by:  gsummptfsadd  18531  gsumsub  18555  evlslem1  19730  frlmup1  20354  tsmsadd  22170  tdeglem3  24039
  Copyright terms: Public domain W3C validator